(Uel 96) Sabe-se que os números reais ‘ e ’ são raízes da equação x£-kx+6=0, na qual k Æ IR. A equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1 é ...

Para encontrar a equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1, precisamos utilizar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação. Sabemos que a soma das raízes de uma equação do 2° grau é dada por -b/a e o produto das raízes é dado por c/a. No caso da equação x£-kx+6=0, temos que as raízes são ‘ e ’. Portanto, temos: ‘ + ’ = k/1 ‘ x ’ = 6/1 Somando 1 em cada raiz, temos: ‘+1’ + ’+1’ = k/1 + 2 (‘+1’) x (’+1’) = 6/1 (‘+1’ + ’+1’) = k + 2 (‘+1’) x (’+1’) = 6 ‘+1’ + ’+1’ = k + 2 ‘+1’’+’+1’’ = k + 7 Agora, podemos utilizar essas informações para encontrar a equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1. A equação do 2° grau geral é dada por ax£² + bx + c = 0. Substituindo as raízes ‘+1 e ’+1’ na equação, temos: a(‘+1’)² + b(‘+1’) + c = 0 a(’+1’)² + b(’+1’) + c = 0 Simplificando, temos: a + b + c = 0 a + 2b + c = 0 Agora, podemos utilizar o sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c. Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: b = -a Substituindo b em uma das equações, temos: a + (-a) + c = 0 c = 0 Portanto, temos que c = 0. Substituindo c na equação b = -a, temos: b = -a Agora, podemos utilizar as informações que temos sobre as raízes para encontrar o valor de a. Substituindo as raízes ‘+1 e ’+1’ na equação geral, temos: a(‘+1’)² + b(‘+1’) = 0 a(’+1’)² + b(’+1’) = 0 Simplificando, temos: a + b = 0 4a + 2b = 0 Substituindo b por -a, temos: a - a = 0 4a - 2a = 0 Simplificando, temos: a = 0 a = 0 Portanto, temos que a = 0. Substituindo a e b na equação geral, temos: 0x£² + bx + 0 = 0 bx = 0 Como b pode ser qualquer número real, temos que a equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1 é dada por: bx = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra D) x£ - (k+1)x + 7 = 0.