(Fatec) Considerando as funções trigonométricas definidas por f(x) = 2senx, g(x) = sen2x e h(x) = 2 + senx, tem-se I- f(x) > h(x), para todo x Æ I...

Analisando as funções trigonométricas definidas por f(x) = 2senx, g(x) = sen2x e h(x) = 2 + senx, temos: I- f(x) > h(x), para todo x Æ IR. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, podemos comparar as expressões de f(x) e h(x): f(x) = 2senx h(x) = 2 + senx Podemos observar que o valor mínimo de senx é -1, então o valor mínimo de h(x) é 1. Já o valor máximo de f(x) é 2, portanto f(x) é sempre menor que h(x). Logo, a afirmação I é falsa. II- g(x) ´ h(x), para todo x Æ IR. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, podemos calcular g(x) e h(x) e multiplicá-las: g(x) = sen(2x) = 2sen(x)cos(x) h(x) = 2 + sen(x) g(x) * h(x) = (2sen(x)cos(x)) * (2 + sen(x)) g(x) * h(x) = 4sen(x)cos(x) + 2sen²(x)cos(x) Podemos observar que sen(x)cos(x) é sempre menor ou igual a 1/2, então g(x) * h(x) é sempre menor ou igual a 4 + 1 = 5. Logo, a afirmação II é verdadeira. III- f(x) e g(x) têm períodos iguais. O período de f(x) é 2π e o período de g(x) é π. Como 2π não é igual a π, a afirmação III é falsa. IV- f(x) e h(x) têm períodos diferentes. O período de f(x) é 2π e o período de h(x) é 2π. Como os períodos são iguais, a afirmação IV é falsa. V- g(x) ´ senx ´ f(x), para todo x Æ IR. Para verificar se essa afirmação é verdadeira, podemos calcular g(x), sen(x) e f(x) e multiplicá-las: g(x) = sen(2x) = 2sen(x)cos(x) sen(x) = sen(x) f(x) = 2sen(x) g(x) * sen(x) * f(x) = (2sen(x)cos(x)) * sen(x) * (2sen(x)) g(x) * sen(x) * f(x) = 4sen²(x)cos(x) Podemos observar que sen²(x)cos(x) é sempre maior ou igual a 0, então g(x) * sen(x) * f(x) é sempre maior ou igual a 0. Logo, a afirmação V é verdadeira. Portanto, a alternativa correta é a letra (C) Somente II e V são verdadeiras.