Para definir a primeira rodada do torneio realiza-se um sorteio casual que divide os 8 jogadores em 4 grupos de 2 jogadores cada um. a) De quantas ...

a) Para a primeira rodada do torneio, temos 8 jogadores que serão divididos em 4 grupos de 2 jogadores cada. Podemos calcular o número de maneiras diferentes de constituir a tabela de jogos da primeira rodada usando a fórmula de combinação. Assim, temos: C(8,2) * C(6,2) * C(4,2) * C(2,2) = 28 * 15 * 6 * 1 = 2520 Portanto, existem 2520 maneiras diferentes de constituir a tabela de jogos da primeira rodada. b) Para calcular a probabilidade de que nenhum dos amigos A, B, C e D enfrentem um ao outro na primeira rodada, podemos usar o princípio da contagem. Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de constituir a tabela de jogos da primeira rodada, que é 2520 (como calculado na questão a). Em seguida, vamos calcular o número de maneiras em que nenhum dos amigos A, B, C e D enfrentam um ao outro. Temos duas possibilidades: - A e B jogam em grupos diferentes: nesse caso, temos C(6,2) * C(4,2) * C(2,2) = 90 maneiras de constituir a tabela de jogos da primeira rodada. - A e B jogam no mesmo grupo, mas C e D jogam em grupos diferentes: nesse caso, temos C(2,1) * C(6,1) * C(4,2) * C(2,2) = 48 maneiras de constituir a tabela de jogos da primeira rodada. Assim, o número total de maneiras em que nenhum dos amigos A, B, C e D enfrentam um ao outro é 90 + 48 = 138. Portanto, a probabilidade de que esse desejo seja satisfeito é: P = 138/2520 = 0,0548 (ou aproximadamente 5,48%) c) Sabendo que pelo menos um dos jogos da primeira rodada envolve 2 dos 4 amigos, queremos calcular a probabilidade condicional de que A e B se enfrentem na primeira rodada. Podemos usar a fórmula de probabilidade condicional: P(A e B | pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) = P(A e B e pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) / P(pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) Para calcular o denominador, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão. Temos: P(pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) = P(A e não B) + P(B e não A) + P(A e B) Para calcular o numerador, temos: P(A e B e pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) = P(A e B) pois se A e B se enfrentam na primeira rodada, então pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos. Assim, temos: P(pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) = 2 * (C(6,2) * C(4,2) * C(2,2)) + C(4,2) * (C(6,1) * C(4,1) * C(2,2)) = 276 P(A e B) = C(2,1) * C(6,1) * C(4,2) * C(2,1) = 144 Portanto, a probabilidade condicional de que A e B se enfrentem na primeira rodada, sabendo que pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos, é: P(A e B | pelo menos um jogo envolve 2 dos 4 amigos) = 144/276 = 0,5217 (ou aproximadamente 52,17%)