Resolva as inequações em R: a) log 2)63(4 x; b) log )104(3 1 x  -2; c) log 12 (x – 1 ) + log 12 (x- 2) < 1; d) log x5,0 - log 0)14(5,0 x; e) ...

a) log2(63/(4+x)) > 0 Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo: 63/(4+x) = 63/[(2+2)+(x+2)] = 63/[2(x+2)+2] Agora, podemos escrever a inequação na forma exponencial: log2(63/[2(x+2)+2]) > 0 2^0 = 1, então podemos escrever: 63/[2(x+2)+2] > 1 63 > 2(x+2)+2 63 > 2x+6 2x < 57 x < 28,5 Portanto, a solução da inequação é x < 28,5. b) log3(104/(1-x)) ≤ -2 Novamente, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo: 104/(1-x) = 104/[(3-2)+(1-x)] = 104/[3-(x-2)] Agora, podemos escrever a inequação na forma exponencial: log3(104/[3-(x-2)]) ≤ -2 3^-2 = 1/9, então podemos escrever: 104/[3-(x-2)] ≤ 1/9 104 ≤ (3-(x-2))/9 936 ≤ 3-(x-2) 938 ≤ 3-x+2 936 ≤ 5-x x ≤ 931 Portanto, a solução da inequação é x ≤ 931. c) log12(x-1) + log12(x-2) < 1 Podemos usar a propriedade do logaritmo que diz que a soma de dois logaritmos é igual ao logaritmo do produto: log12[(x-1)(x-2)] < 1 Agora, podemos escrever a inequação na forma exponencial: 12^1 = 12, então podemos escrever: (x-1)(x-2) < 12 x^2 - 3x + 2 < 12 x^2 - 3x - 10 < 0 (x-5)(x+2) < 0 -2 < x < 5 Portanto, a solução da inequação é -2 < x < 5. d) log5,0(x) - log5,0(14-5x) > 0 Novamente, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo: log5,0(x) - log5,0(14-5x) = log5,0(x/(14-5x)) Agora, podemos escrever a inequação na forma exponencial: 5^0 = 1, então podemos escrever: x/(14-5x) > 1 x > 14-5x 6x > 14 x > 7/3 Portanto, a solução da inequação é x > 7/3. e) 2log2(1) < 6x < log2(1/2) 2log2(1) = 2*0 = 0, então podemos escrever: 0 < 6x < log2(1/2) log2(1/2) = -1, então podemos escrever: 0 < 6x < -1 Essa inequação não tem solução em R, pois não existe nenhum número real que seja maior que zero e menor que -1. f) log4(x-3) - logx2 ≥ -2 Podemos usar a propriedade do logaritmo que diz que a diferença de dois logaritmos é igual ao logaritmo do quociente: log4[(x-3)/x^2] ≥ -2 Agora, podemos escrever a inequação na forma exponencial: 4^-2 = 1/16, então podemos escrever: (x-3)/x^2 ≥ 1/16 16(x-3) ≥ x^2 16x - 48 ≥ x^2 x^2 - 16x + 48 ≤ 0 (x-8)(x-6) ≤ 0 6 ≤ x ≤ 8 Portanto, a solução da inequação é 6 ≤ x ≤ 8.