Resolva os seguintes sistemas: a) x + y = 110, log(x) + log(y) = 3; b) x - 4y = 7, log(x+1) - log(y) = 3log2; c) 2log(x) + 3log(y) = 7, log(x^2) = ...

a) Para resolver o sistema, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que log(a) + log(b) = log(ab). Assim, temos: x + y = 110 log(x) + log(y) = 3 log(xy) = 3 xy = 1000 Substituindo xy na primeira equação, temos: x + y = 110 xy = 1000 Resolvendo esse sistema, encontramos x = 10 e y = 100. b) Novamente, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que log(a) - log(b) = log(a/b). Assim, temos: x - 4y = 7 log((x+1)/y) = 3log2 log((x+1)/y) = log2^3 log((x+1)/y) = log8 (x+1)/y = 8 x+1 = 8y Substituindo x+1 na primeira equação, temos: 8y - 4y = 7 4y = 7 y = 7/4 Substituindo y na segunda equação, temos: log((x+1)/(7/4)) = 3log2 log((x+1)/(7/4)) = log2^3 log((x+1)/(7/4)) = log8 (x+1)/(7/4) = 8 x+1 = 14 Assim, encontramos x = 13/4 e y = 7/4. c) Podemos usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a segunda equação: 2log(x) + 3log(y) = 7 log(x^2) = 4 - log(y^4) log(x^2) = log(10^4/y^4) x^2 = 10^4/y^4 Substituindo x^2 na primeira equação, temos: 2log(10^2/y^2) + 3log(y) = 7 log(10^4/y^4) + log(y^3) = 7 log(10^4/y) = 7 y = 10^4/10^7 y = 1/100 Substituindo y na segunda equação, temos: log(x^2) = 4 - log((1/100)^4) log(x^2) = 4 + 8log(10) log(x^2) = 4 + 8 log(x^2) = 12 x^2 = 10^12 x = 10^6 Assim, encontramos x = 10^6 e y = 1/100. d) Podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que log(a^b) = b*log(a). Assim, temos: 4log(x) - log(y) = 0 log(x^4) - log(y) = 0 log(x^4/y) = 0 x^4/y = 1 x^4 = y Substituindo y por x^4 na segunda equação, temos: xy = 8 x(x^4) = 8 x^5 = 8 x = 2 Substituindo x na primeira equação, temos: 4log(2) - log(y) = 0 log(2^4/y) = 0 2^4/y = 1 y = 16 Assim, encontramos x = 2 e y = 16.