A trigonometria é fundamental para resolução de situações problema simples ou muito complexas. Qual a soma dos elementos do conjunto X = { c o s ( ...

Para encontrar a soma dos elementos do conjunto X, precisamos primeiro encontrar todos os valores possíveis de cos(2kp/5r), onde k é um número inteiro. Sabemos que cos(x) = cos(2π - x), então podemos reescrever cos(2kp/5r) como cos(2π - 2kp/5r). Também sabemos que cos(x) = cos(-x), então podemos reescrever cos(2π - 2kp/5r) como cos(2kp/5r - 2π). Portanto, os valores possíveis de cos(2kp/5r) são: cos(2kp/5r), cos(2π - 2kp/5r) e cos(2kp/5r - 2π). Usando a identidade trigonométrica cos(x) + cos(y) = 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2), podemos somar esses valores para obter a soma dos elementos do conjunto X: cos(2kp/5r) + cos(2π - 2kp/5r) + cos(2kp/5r - 2π) = 2cos(π/2 - kp/5r)cos(2kp/5r - π/2) = 2sen(kp/5r)cos(2kp/5r - π/2) = -2sen(kp/5r)sen(2kp/5r) Agora, precisamos somar essa expressão para todos os valores inteiros de k. Como sen(x) = sen(x + 2π), podemos restringir k a um intervalo de 0 a 4: Soma dos elementos de X = -2sen(0p/5r)sen(0p/5r) - 2sen(1p/5r)sen(2p/5r) - 2sen(2p/5r)sen(4p/5r) - 2sen(3p/5r)sen(6p/5r) - 2sen(4p/5r)sen(8p/5r) Simplificando, temos: Soma dos elementos de X = -2(sen(0)sen(0) + sen(p/5r)sen(2p/5r) + sen(2p/5r)sen(4p/5r) + sen(3p/5r)sen(6p/5r) + sen(4p/5r)sen(8p/5r)) Soma dos elementos de X = -2(0 + 1/2 + 3/4 + 3/4 + 1/2) Soma dos elementos de X = -5 Portanto, a soma dos elementos do conjunto X é -5.