Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 12 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando...

Para construir a caixa sem tampa, é necessário cortar um quadrado de lado x em cada canto da folha quadrada de cartolina de lado 12 cm. Em seguida, as abas restantes devem ser dobradas para cima e coladas para formar a caixa. O lado do quadrado a ser cortado é x, e a altura da caixa será 12 - 2x, já que foram cortados quadrados iguais em cada canto. Portanto, o volume da caixa será V = x²(12 - 2x) = 4x³ - 6x². Para encontrar o valor de x, podemos derivar a equação do volume em relação a x e igualá-la a zero para encontrar o ponto de máximo. Assim, temos: dV/dx = 12x² - 12x = 0 x(12x - 12) = 0 x = 1 Portanto, o lado do quadrado a ser cortado é 1 cm. A área total da superfície da caixa será a soma das áreas das seis faces. Cada face lateral terá área (12 - 2x)² = 100 cm², e as duas bases terão área x² = 1 cm² cada. Assim, a área total será: A = 4(100) + 2(1) = 401 cm² Logo, a sentença III está incorreta. A caixa terá 5 faces, já que uma das faces laterais será removida ao cortar os quadrados nos cantos. Portanto, a sentença IV também está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra D - As sentenças II e IV estão corretas.