Com relação ao conceito de integral, existem várias aplicações que podemos destacar, principalmente na área das engenharias. A relação entre as der...

Para resolver a integral indefinida In(8x³-4cos(2x))dx, podemos utilizar a técnica de integração por partes. Primeiro, escolhemos u e dv para aplicar a fórmula de integração por partes. Neste caso, podemos escolher u = In(8x³-4cos(2x)) e dv = dx. Assim, temos que du/dx = (24x² + 8sen(2x))/ (8x³-4cos(2x)) e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: In(8x³-4cos(2x))x - ∫x(24x² + 8sen(2x))/ (8x³-4cos(2x)) dx Podemos simplificar a expressão dentro da integral, dividindo o numerador e o denominador por 4: In(8x³-4cos(2x))x - 6∫x²/(2x³-cos(2x)) dx - 2∫sen(2x)/(2x³-cos(2x)) dx Agora, podemos resolver as duas integrais restantes utilizando a técnica de substituição trigonométrica. Para a primeira integral, fazemos a substituição u = 2x³-cos(2x), e para a segunda integral, fazemos a substituição u = cos(2x). Após resolver as duas integrais, substituímos os resultados na expressão original e obtemos a solução da integral indefinida.