Exemplo 2. Uma pesquisa indica que, para cada ida ao supermercado, um consumidor permanece na loja em média 45 minutos, com desvio padrão de 12 min...

(a) Para calcular a probabilidade de que um consumidor fique na loja entre 24 e 54 minutos, precisamos calcular a área sob a curva normal padrão entre os escores-z correspondentes a esses valores. Primeiro, calculamos o escore-z para 24 minutos: z = (24 - 45) / 12 = -1,75 Em seguida, calculamos o escore-z para 54 minutos: z = (54 - 45) / 12 = 0,75 Podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a área acumulada correspondente a esses escores-z. A área acumulada para z = -1,75 é de aproximadamente 0,0401 e a área acumulada para z = 0,75 é de aproximadamente 0,7734. Para encontrar a probabilidade de que um consumidor fique na loja entre 24 e 54 minutos, subtraímos a área acumulada correspondente a z = -1,75 da área acumulada correspondente a z = 0,75: P(24 < x < 54) = 0,7734 - 0,0401 = 0,7333 Portanto, a probabilidade de que um consumidor fique na loja entre 24 e 54 minutos é de aproximadamente 0,7333. Para calcular a probabilidade de que um consumidor fique na loja por mais de 39 minutos, precisamos calcular a área sob a curva normal padrão à direita do escore-z correspondente a 39 minutos. Primeiro, calculamos o escore-z para 39 minutos: z = (39 - 45) / 12 = -0,5 Podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a área acumulada correspondente a esse escore-z. A área acumulada para z = -0,5 é de aproximadamente 0,3085. Portanto, a probabilidade de que um consumidor fique na loja por mais de 39 minutos é de aproximadamente 0,3085. (b) Quando 200 consumidores entram na loja, podemos usar a distribuição normal para estimar quantos consumidores esperamos que permaneçam na loja para cada intervalo de tempo listado. Para isso, precisamos multiplicar a probabilidade de que um consumidor fique na loja em cada intervalo de tempo pelo número total de consumidores que entram na loja: 1. Entre 24 e 54 minutos: P(24 < x < 54) = 0,7333 Número esperado de consumidores = 0,7333 x 200 = 146,66 (aproximadamente 147) 2. Mais que 39 minutos: P(x > 39) = 0,3085 Número esperado de consumidores = 0,3085 x 200 = 61,7 (aproximadamente 62) (c) Para calcular a probabilidade de que um consumidor fique no supermercado entre 33 e 60 minutos, precisamos seguir os seguintes passos: a. Esboce um gráfico: Podemos esboçar um gráfico da distribuição normal padrão, com a média de 45 minutos e o desvio padrão de 12 minutos. Em seguida, podemos marcar os valores correspondentes a 33 e 60 minutos no eixo x e sombrear a área entre esses valores. b. Calcule os escores-z que correspondem a 33 minutos e a 60 minutos: Para calcular os escores-z correspondentes a 33 e 60 minutos, usamos a fórmula z = (x - μ) / σ, onde x é o valor que queremos transformar em escore-z, μ é a média e σ é o desvio padrão. Para 33 minutos: z = (33 - 45) / 12 = -1 Para 60 minutos: z = (60 - 45) / 12 = 1,25 c. Encontre a área acumulada para cada escore-z e subtraia a área menor da área maior: Podemos usar uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a área acumulada correspondente a cada escore-z. A área acumulada para z = -1 é de aproximadamente 0,1587 e a área acumulada para z = 1,25 é de aproximadamente 0,8944. Para encontrar a probabilidade de que um consumidor fique no supermercado entre 33 e 60 minutos, subtraímos a área acumulada correspondente a z = -1 da área acumulada correspondente a z = 1,25: P(33 < x < 60) = 0,8944 - 0,1587 = 0,7357 Portanto, a probabilidade de que um consumidor fique no supermercado entre 33 e 60 minutos é de aproximadamente 0,7357. d. Interprete sua resposta quando 150 consumidores entram na loja. Quantos consumidores você esperaria que permanecessem na loja entre 33 e 60 minutos? Quando 150 consumidores entram na loja, podemos usar a distribuição normal para estimar quantos consumidores esperamos que permaneçam na loja entre 33 e 60 minutos. Para isso, precisamos multiplicar a probabilidade de que um consumidor fique no supermercado entre 33 e 60 minutos pelo número total de consumidores que entram na loja: P(33 < x < 60) = 0,7357 Número esperado de consumidores = 0,7357 x 150 = 110,36 (aproximadamente 110) Portanto, esperamos que cerca de 110 consumidores permaneçam na loja entre 33 e 60 minutos quando 150 consumidores entram na loja.