2) Seja −→F(t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo −→F integrável em [t1, t2], o vetor −→I=∫t2t1−→F(t)dt denomina-se impulso de −→F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de −→F no intervalo de tempo
dado:
a)−→F(t)=ti+j+t2k,t1=0et2=2
b)−→F(t)=1t+1i+t2j+k,t1=0et2=1

Question

2) Seja −→F(t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo −→F integrável em [t1, t2], o vet...

Ed · Answer

Para calcular o impulso da força $\vec{F}(t)$ no intervalo de tempo $[t_1, t_2]$, precisamos integrar a função $\vec{F}(t)$ em relação ao tempo $t$ entre os limites $t_1$ e $t_2$.

Vamos analisar cada caso:

### a) $\vec{F}(t) = ti + j + t^2k$, $t_1 = 0$ e $t_2 = 2$

O impulso $\vec{I}$ é dado por:

$$
\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) dt = \int_{0}^{2} (ti + j + t^2k) dt
$$

Calculando a integral:

1. Para a componente $i$:
   $$
   \int_{0}^{2} t dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 2
   $$

2. Para a componente $j$:
   $$
   \int_{0}^{2} 1 dt = \left[t\right]_{0}^{2} = 2 - 0 = 2
   $$

3. Para a componente $k$:
   $$
   \int_{0}^{2} t^2 dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}
   $$

Portanto, o impulso $\vec{I}$ é:
$$
\vec{I} = 2i + 2j + \frac{8}{3}k
$$

### b) $\vec{F}(t) = \frac{1}{t+1}i + t^2j + k$, $t_1 = 0$ e $t_2 = 1$

O impulso $\vec{I}$ é dado por:

$$
\vec{I} = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{t+1}i + t^2j + k\right) dt
$$

Calculando a integral:

1. Para a componente $i$:
   $$
   \int_{0}^{1} \frac{1}{t+1} dt = \left[\ln(t+1)\right]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)
   $$

2. Para a componente $j$:
   $$
   \int_{0}^{1} t^2 dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - 0 = \frac{1}{3}
   $$

3. Para a componente $k$:
   $$
   \int_{0}^{1} 1 dt = \left[t\right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1
   $$

Portanto, o impulso $\vec{I}$ é:
$$
\vec{I} = \ln(2)i + \frac{1}{3}j + 1k
$$

### Resumo dos Resultados

- Para a) $\vec{I} = 2i + 2j + \frac{8}{3}k$
- Para b) $\vec{I} = \ln(2)i + \frac{1}{3}j + 1k$

Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Ed · Answer

a) Para calcular o impulso de −→F(t)=ti+j+t2k, t1=0 e t2=2, devemos integrar a função vetorial −→F(t) em relação ao tempo t, no intervalo [0, 2]:

−→I=∫t2t1−→F(t)dt=∫20(ti+j+t2k)dt

−→I=[(t^2/2)i+tj+(t^3/3)k]2_0

−→I=(2i+j+(8/3)k)-(0i+0j+0k)

−→I=2i+j+(8/3)k

Portanto, o impulso de −→F(t) no intervalo de tempo [0, 2] é 2i+j+(8/3)k.

b) Para calcular o impulso de −→F(t)=1t+1i+t2j+k, t1=0 e t2=1, devemos integrar a função vetorial −→F(t) em relação ao tempo t, no intervalo [0, 1]:

−→I=∫t2t1−→F(t)dt=∫10(1t+1i+t2j+k)dt

−→I=[ln(t)+ti+(t^3/3)j+tk]1_0

−→I=(ln(1)+1i+(1/3)j+1k)-(ln(0)+0i+0j+0k)

−→I=1i+(1/3)j+1k

Portanto, o impulso de −→F(t) no intervalo de tempo [0, 1] é 1i+(1/3)j+1k.

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1) Sejam
−→F(t)=ti+j+etk e −→G(t)=i+j+k. Calcule
a)∫10(−→F(t)∧−→G(t))dt b)∫10(−→F(t)·−→G(t))dt

4) Calcule o comprimento da curva dada.
a)γ(t)=(tcos⁡t,tsin⁡t),t∈[0,2π]
b)γ(t)=(2t−1,t+1),t∈[1,2]
c)γ(t)=(cost,sent,e−t),t∈[0,π]
d)γ(t)=(e−tcos⁡t,e−tsin⁡t,e−t),t∈[0,1]
e)γ(t)=(t,ln⁡t),t∈[1,e]
f)γ:[0,2π]→R2 dada por x(t)=1−cost,y=t−sint

5) Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ=Imδ, mas que seus comprimentos sejam diferentes.

9) Seja f(x,y)=3x+2y. Calcule
a)f(1,−1) b)f(a,x)
c)f(x+h,y)−f(x,y)h d)f(x,y+k)−f(x,y)k

11) Seja f:R2→R uma função linear. Sabendo que f(1,0)=2 e f(0,1)=3, calcule f(x,y).

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4) Calcule o comprimento da curva dada.a)γ(t)=(tcos⁡t,tsin⁡t),t∈[0,2π]b)γ(t)=(2t−1,t+1),t∈[1,2]c)γ(t)=(cost,sent,e−t),t∈[0,π]d)γ(t)=(e−tcos⁡t,e−tsin⁡t,e−t),t∈[0,1]e)γ(t)=(t,ln⁡t),t∈[1,e]f)γ:[0,2π]→R2 dada por x(t)=1−cost,y=t−sint

5) Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ=Imδ, mas que seus comprimentos sejam diferentes.

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a)γ(t)=(tcos⁡t,tsin⁡t),t∈[0,2π]
b)γ(t)=(2t−1,t+1),t∈[1,2]
c)γ(t)=(cost,sent,e−t),t∈[0,π]
d)γ(t)=(e−tcos⁡t,e−tsin⁡t,e−t),t∈[0,1]
e)γ(t)=(t,ln⁡t),t∈[1,e]
f)γ:[0,2π]→R2 dada por x(t)=1−cost,y=t−sint

9) Seja f(x,y)=3x+2y. Calcule
a)f(1,−1) b)f(a,x)
c)f(x+h,y)−f(x,y)h d)f(x,y+k)−f(x,y)k