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Lista 02 (2)

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Lista 2 - Cálculo II
1) Sejam
−→
F (t) = t
−→
i +
−→
j + et
−→
k e
−→
G(t) =
−→
i +
−→
j +
−→
k . Calcule
a)
∫ 1
0
(
−→
F (t) ∧
−→
G(t))dt b)
∫ 1
0
(
−→
F (t) ·
−→
G(t))dt
2) Seja
−→
F (t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1
e t2. Supondo
−→
F integrável em [t1, t2], o vetor
−→
I =
∫ t2
t1
−→
F (t)dt
denomina-se impulso de
−→
F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de
−→
F no intervalo de tempo
dado:
a)
−→
F (t) = t
−→
i +
−→
j + t2
−→
k , t1 = 0 e t2 = 2
b)
−→
F (t) =
1
t+ 1
−→
i + t2
−→
j +
−→
k , t1 = 0 e t2 = 1
3) Suponha que
−→
F (t) seja a força resultante que atua, no instante t, sobre uma partícula de massa m
que se move no espaço. Mostre que o impulso de
−→
F no intervalo de tempo [t1, t2] é igual à variação da
quantidade de movimento, isto é, ∫ t2
t1
−→
F (t)dt = m−→v2 −m−→v1
onde −→v2 e −→v1 são, respectivamente, as velocidades nos instantes t1 e t2. (Sugestão:
−→
F (t) = m−→a (t)).
4) Calcule o comprimento da curva dada.
a)γ(t) = (t cos t, t sin t), t ∈ [0, 2π]
b)γ(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2]
c)γ(t) = (cos t, sin t, e−t), t ∈ [0, π]
d)γ(t) = (e−t cos t, e−t sin t, e−t), t ∈ [0, 1]
e)γ(t) = (t, ln t), t ∈ [1, e]
f)γ : [0, 2π]→ R2 dada por x(t) = 1− cos t, y = t− sin t
5) Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ = Imδ, mas que seus comprimentos sejam diferentes.
6) Dizemos que uma curva δ : [α, β] → Rn, com derivada contínua, está parametrizada pelo com-
primento de arco se ||δ′(s)|| = 1, para todo s ∈ [α, β]. Veri�que que cada uma das curvas abaixo está
parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s.
a)δ(s) = (cos s, sin s), s ≥ 0
b)δ(s) =
(
R cos
s
R
,R sin
s
R
)
, s ≥ 0, onde R > 0 é um real �xo
c)δ(s) =
(
s√
5
,
2s√
5
)
, s ≥ 0
7) Seja γ : [a, b]→ Rn, com derivada contínua, e tal que ||γ′(t)|| 6= 0 em [a, b]. Seja s : [a, b]→ R dada
por s(t) =
∫ t
a
||γ′(u)||du.
a) Veri�que que a função s = s(t) é inversível e seja t = t(s) sua inversa.
b) Veri�que que a curva δ : [0, L]→ Rn(L é o comprimento de γ) dada por
δ(s) = γ(t(s))
está parametrizada pelo comprimento. Dizemos que δ é a reparametrização de γ pelo comprimento de
arco.
8) Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
a)γ(t) = (2t+ 1, 3t− 1), t ≥ 0
b)γ(t) = (2 cos t, 2 sin t), t ≥ 0
c)γ(t) = (cos t, sin t, t), t ≥ 0
d)γ(t) = (et cos t, et sin t), t ≥ 0
a) Veri�que que, para todo s ∈ I, k(s) = ||γ′′(s)||, onde k(s) é a curvatura em γ(s).
b) Prove que se k(s) = 0, para todo s, então γ é uma reta.
9) Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Calcule
a)f(1,−1) b)f(a, x)
c)
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
d)
f(x, y + k)− f(x, y)
k
10) Represente gra�camente o domínio da função z = f(x, y) dada por
a)x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0 b)f(x, y) = x− y√
1− x2 − y2
c)z =
√
y − x2 +
√
2x− y d)z = ln(2x2 + y2 − 1)
e)z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0 f)z =
√
|x| − |y|
g)4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0 h)z = x− y
sinx− sin y
11) Seja f : R2 → R uma função linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y).
12) Veri�que se a função é homogênea. Em caso a�rmativo, determine o grau de homogeneidade.
a)f(x, y) =
x3 + 2xy2
x3 − y3
b)f(x, y) =
√
x4 + y4
c)f(x, y) = 5x3y + x4 + 3 d)f9x, y) =
2
x2 + y2
13) Suponha que f : R2 → R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para todo (a, b), com a2+b2 = 1.
Calcule
a)f(4
√
3, 4)
b)f(0, 3)
c)f(x, y), (x, y) 6= (0, 0)
14) Seja f : R2 → R homogênea e suponha que f(a, b) = 0 para todo (a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre
que f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
15) Desenhe as curvas de nível e esboce o grá�co.
a)f(x, y) = 1− x2 − y2 b)f(x, y) = x+ 3y
c)z = 4x2 + y2 d)f(x, y) = 1 + x2 + y2
e)f(x, y) = x2,−1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0 f)f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1
g)z =
√
x2 + y2 h)z = (x− y)2, x ≥ 0 e y ≥ 0
i)f(x, y) = x, x ≥ 0 j)z = 1−
√
x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1
2
16) Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
a)f(x, y) = x− 2y b)z = y
x− 2
c)f(x, y) =
x− y
x+ y
d)z =
x
y − 1
e)z = xy f)f(x, y) = x2 − y2
g)z = 4x2 + y2 h)z = 3x2 − 4xy + y2
i)z =
x2
x2 + y2
j)z =
xy
x2 + y2
17) Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A. Determine, também, os pontos
em que estes valores são atingidos.
a)f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + 3 e A = R2
b)f(x, y) = xy e A = R2
c)f(x, y) = xy e A = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 e y ≥ 0}
d)f(x, y) =
x2
x2 + y2
eA = {(x, y) ∈ R2|(x, y) 6= (0, 0)}
e)f(x, y) = x2 + y2 eA = {(x, y) ∈ R2|x+ 2y = 1}
f)f(x, y) = 2−
√
x2 + y2 eA = R2
g)f(x, y) = xy eA = {(x, y) ∈ R2|4x2 + y2 = 1, y ≥ 0}
18) Um ponto P descreve uma curva sobre a superfície z = xy de modo que a sua projeção Q sobre
o plano xy descreve a curva x = 5 − t, y = t2 + 3 e z = 0. Determine as alturas máxima e mínima (em
relação ao plano xy) quando t percorre o intervalo [0, 4].
19) Um ponto P descreve uma curva sobre o grá�co da função f(x, y) = x2 + y2 de modo que a sua
projeção Q sobre o plano xy descreve a reta x+ y = 1. Determine o ponto da curva que se encontra mais
próximo do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P ).
20) Sejam f(x, y) = xy e γ(t) = (at, bt, f(at, bt)). Desenhe a imagem de γ sendo
a)a = 0 e b = 1
b)a = 1 e b = 0
c)a = 1 e b = 1
d)a = −1 e b = 1
Como é o grá�co de f(x, y) = xy?
21) Suponha que T (x, y) = 2x+ y(oC) represente uma distribuição de temperatura no plano xy.
a) Desenhe as isotermas correspondentes às temperaturas: 0 oC, 3 oC e − 1 oC.
b) Raciocinando geometricamente, determine os pontos de mais alta e mais baixa temperatura do
círculo x2 + y2 ≤ 4.
22) Duas curvas de nível podem interceptar-se? Justi�que.
3