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Lista 2 - Cálculo II 1) Sejam −→ F (t) = t −→ i + −→ j + et −→ k e −→ G(t) = −→ i + −→ j + −→ k . Calcule a) ∫ 1 0 ( −→ F (t) ∧ −→ G(t))dt b) ∫ 1 0 ( −→ F (t) · −→ G(t))dt 2) Seja −→ F (t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo −→ F integrável em [t1, t2], o vetor −→ I = ∫ t2 t1 −→ F (t)dt denomina-se impulso de −→ F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de −→ F no intervalo de tempo dado: a) −→ F (t) = t −→ i + −→ j + t2 −→ k , t1 = 0 e t2 = 2 b) −→ F (t) = 1 t+ 1 −→ i + t2 −→ j + −→ k , t1 = 0 e t2 = 1 3) Suponha que −→ F (t) seja a força resultante que atua, no instante t, sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de −→ F no intervalo de tempo [t1, t2] é igual à variação da quantidade de movimento, isto é, ∫ t2 t1 −→ F (t)dt = m−→v2 −m−→v1 onde −→v2 e −→v1 são, respectivamente, as velocidades nos instantes t1 e t2. (Sugestão: −→ F (t) = m−→a (t)). 4) Calcule o comprimento da curva dada. a)γ(t) = (t cos t, t sin t), t ∈ [0, 2π] b)γ(t) = (2t− 1, t+ 1), t ∈ [1, 2] c)γ(t) = (cos t, sin t, e−t), t ∈ [0, π] d)γ(t) = (e−t cos t, e−t sin t, e−t), t ∈ [0, 1] e)γ(t) = (t, ln t), t ∈ [1, e] f)γ : [0, 2π]→ R2 dada por x(t) = 1− cos t, y = t− sin t 5) Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ = Imδ, mas que seus comprimentos sejam diferentes. 6) Dizemos que uma curva δ : [α, β] → Rn, com derivada contínua, está parametrizada pelo com- primento de arco se ||δ′(s)|| = 1, para todo s ∈ [α, β]. Veri�que que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s. a)δ(s) = (cos s, sin s), s ≥ 0 b)δ(s) = ( R cos s R ,R sin s R ) , s ≥ 0, onde R > 0 é um real �xo c)δ(s) = ( s√ 5 , 2s√ 5 ) , s ≥ 0 7) Seja γ : [a, b]→ Rn, com derivada contínua, e tal que ||γ′(t)|| 6= 0 em [a, b]. Seja s : [a, b]→ R dada por s(t) = ∫ t a ||γ′(u)||du. a) Veri�que que a função s = s(t) é inversível e seja t = t(s) sua inversa. b) Veri�que que a curva δ : [0, L]→ Rn(L é o comprimento de γ) dada por δ(s) = γ(t(s)) está parametrizada pelo comprimento. Dizemos que δ é a reparametrização de γ pelo comprimento de arco. 8) Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada. a)γ(t) = (2t+ 1, 3t− 1), t ≥ 0 b)γ(t) = (2 cos t, 2 sin t), t ≥ 0 c)γ(t) = (cos t, sin t, t), t ≥ 0 d)γ(t) = (et cos t, et sin t), t ≥ 0 a) Veri�que que, para todo s ∈ I, k(s) = ||γ′′(s)||, onde k(s) é a curvatura em γ(s). b) Prove que se k(s) = 0, para todo s, então γ é uma reta. 9) Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Calcule a)f(1,−1) b)f(a, x) c) f(x+ h, y)− f(x, y) h d) f(x, y + k)− f(x, y) k 10) Represente gra�camente o domínio da função z = f(x, y) dada por a)x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0 b)f(x, y) = x− y√ 1− x2 − y2 c)z = √ y − x2 + √ 2x− y d)z = ln(2x2 + y2 − 1) e)z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0 f)z = √ |x| − |y| g)4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0 h)z = x− y sinx− sin y 11) Seja f : R2 → R uma função linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y). 12) Veri�que se a função é homogênea. Em caso a�rmativo, determine o grau de homogeneidade. a)f(x, y) = x3 + 2xy2 x3 − y3 b)f(x, y) = √ x4 + y4 c)f(x, y) = 5x3y + x4 + 3 d)f9x, y) = 2 x2 + y2 13) Suponha que f : R2 → R seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a para todo (a, b), com a2+b2 = 1. Calcule a)f(4 √ 3, 4) b)f(0, 3) c)f(x, y), (x, y) 6= (0, 0) 14) Seja f : R2 → R homogênea e suponha que f(a, b) = 0 para todo (a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre que f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0). 15) Desenhe as curvas de nível e esboce o grá�co. a)f(x, y) = 1− x2 − y2 b)f(x, y) = x+ 3y c)z = 4x2 + y2 d)f(x, y) = 1 + x2 + y2 e)f(x, y) = x2,−1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0 f)f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1 g)z = √ x2 + y2 h)z = (x− y)2, x ≥ 0 e y ≥ 0 i)f(x, y) = x, x ≥ 0 j)z = 1− √ x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1 2 16) Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: a)f(x, y) = x− 2y b)z = y x− 2 c)f(x, y) = x− y x+ y d)z = x y − 1 e)z = xy f)f(x, y) = x2 − y2 g)z = 4x2 + y2 h)z = 3x2 − 4xy + y2 i)z = x2 x2 + y2 j)z = xy x2 + y2 17) Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A. Determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. a)f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + 3 e A = R2 b)f(x, y) = xy e A = R2 c)f(x, y) = xy e A = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 e y ≥ 0} d)f(x, y) = x2 x2 + y2 eA = {(x, y) ∈ R2|(x, y) 6= (0, 0)} e)f(x, y) = x2 + y2 eA = {(x, y) ∈ R2|x+ 2y = 1} f)f(x, y) = 2− √ x2 + y2 eA = R2 g)f(x, y) = xy eA = {(x, y) ∈ R2|4x2 + y2 = 1, y ≥ 0} 18) Um ponto P descreve uma curva sobre a superfície z = xy de modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a curva x = 5 − t, y = t2 + 3 e z = 0. Determine as alturas máxima e mínima (em relação ao plano xy) quando t percorre o intervalo [0, 4]. 19) Um ponto P descreve uma curva sobre o grá�co da função f(x, y) = x2 + y2 de modo que a sua projeção Q sobre o plano xy descreve a reta x+ y = 1. Determine o ponto da curva que se encontra mais próximo do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P ). 20) Sejam f(x, y) = xy e γ(t) = (at, bt, f(at, bt)). Desenhe a imagem de γ sendo a)a = 0 e b = 1 b)a = 1 e b = 0 c)a = 1 e b = 1 d)a = −1 e b = 1 Como é o grá�co de f(x, y) = xy? 21) Suponha que T (x, y) = 2x+ y(oC) represente uma distribuição de temperatura no plano xy. a) Desenhe as isotermas correspondentes às temperaturas: 0 oC, 3 oC e − 1 oC. b) Raciocinando geometricamente, determine os pontos de mais alta e mais baixa temperatura do círculo x2 + y2 ≤ 4. 22) Duas curvas de nível podem interceptar-se? Justi�que. 3
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