11) f(x, y) =  xy2 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) é contínua em (0, 0)? Justi�que.

Para verificar se a função é contínua em (0,0), é necessário verificar se ela é contínua em todos os pontos da vizinhança de (0,0). Para isso, podemos utilizar o critério de continuidade de duas variáveis, que diz que uma função f(x,y) é contínua em um ponto (a,b) se: 1) f(a,b) está definida; 2) O limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) existe; 3) O valor do limite encontrado no item 2 é igual a f(a,b). No caso da função dada, podemos verificar que ela é contínua em todos os pontos da vizinhança de (0,0), exceto em (0,0), pois o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existe. Para verificar isso, podemos calcular o limite da função ao longo de diferentes trajetórias que passam por (0,0). Por exemplo, ao longo da trajetória y = mx, temos: lim (x,y) -> (0,0) f(x,y) = lim x->0 (mx)^2 / (x^2 + m^2 x^2) = lim x->0 m^2 x^2 / (1 + m^2 x^2) = 0 Por outro lado, ao longo da trajetória y = x^2, temos: lim (x,y) -> (0,0) f(x,y) = lim x->0 x^4 / (x^2 + x^4) = 1 Como os limites ao longo de trajetórias diferentes são diferentes, concluímos que o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) não existe, e portanto a função não é contínua em (0,0).