19) Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇f(x, y, z) sendo a)f(x, y, z) = √(x2 + y2 + z2) b)f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 c)f(x, y...

O gradiente de uma função de três variáveis é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função em um determinado ponto. Ele é definido como: ∇f(x, y, z) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. a) f(x, y, z) = √(x² + y² + z²) ∇f(x, y, z) = (x/√(x² + y² + z²))i + (y/√(x² + y² + z²))j + (z/√(x² + y² + z²))k b) f(x, y, z) = x² + y² + z² ∇f(x, y, z) = 2xi + 2yj + 2zk c) f(x, y, z) = (x² + y² + 1)z² ∇f(x, y, z) = 2xz(i + 0j + z k) + 2yz(0i + j + z k) d) f(x, y, z) = z arctg(x/y) ∇f(x, y, z) = (z/y)/(1 + (x/y)²)i - (z/x)/(1 + (x/y)²)j + arctg(x/y)k