22) Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja imagem esteja contida na superfície de nível x2 + ...

22) Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferenciável cuja imagem esteja contida na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0, z0). Prove que γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0. Interprete geometricamente.

γ(t) está contida na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1.
γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0.
Geometricamente, γ′(t0) é ortogonal ao vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0).

Ciência Política I

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Aprendendo com Desafios

20/11/2023

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Ciência Política I • Universidade Estácio de SáUniversidade Estácio de Sá

Gilberto Antonio

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Para provar que γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0, podemos usar a regra da cadeia para derivar a função composta f(γ(t)) em relação a t. Temos: (f(γ(t)))' = ∇f(γ(t)) · γ'(t) Como γ(t) está contida na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1, temos que f(γ(t)) = 1 para todo t. Portanto, f(γ(t)) é constante e sua derivada em relação a t é zero. Substituindo na equação acima, temos: 0 = ∇f(γ(t)) · γ'(t) Em particular, para t = t0, temos: 0 = ∇f(γ(t0)) · γ'(t0) Ou seja, γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0. Geometricamente, o vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) é perpendicular à superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1 no ponto (x0, y0, z0). Portanto, a equação γ′(t0) · ∇f(x0, y0, z0) = 0 significa que o vetor tangente à curva γ(t) no ponto γ(t0) é perpendicular à superfície de nível no ponto (x0, y0, z0).

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