17) Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (t, t, z(t)), t ∈ R, uma curva cuja imagem está contida no grá�co de f . a) Determine z(t). b) Esboce os ...

a) Para que γ(t) esteja contida no gráfico de f, temos que z(t) = f(t, t) = t² + t² = 2t². b) O gráfico de f é uma superfície em forma de parabolóide circular, com eixo de simetria na vertical. Já a curva γ é uma reta que passa pelo centro do parabolóide. c) Para determinar a reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2), precisamos calcular o vetor tangente a γ nesse ponto. Temos que γ'(t) = (1, 1, 4t), então γ'(1) = (1, 1, 4). Esse vetor é paralelo à reta tangente a γ no ponto (1, 1, 2), então a equação da reta tangente é dada por r(t) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 4). d) A reta T é dada por r(t) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 4), então um vetor diretor de T é dado por v = (1, 1, 4). O vetor normal ao plano é dado por grad(f)(1, 1) = (2, 2), então um vetor diretor do plano é dado por w = (-2, 2, 0). Como v e w são ortogonais, temos que T está contida no plano de equação z - f(1, 1) = ∂f/∂x(1, 1)(x - 1) + ∂f/∂y(1, 1)(y - 1), que é o mesmo que z - 2 = 4(x - 1) + 4(y - 1).