Seja σ a função vetorial de�nida por σ(t) = (2t/(1 + t^2), (1− t^2)/(1 + t^2), 1). Mostre que o ângulo entre σ(t) e σ′(t) é constante, isto é, inde...

Primeiramente, vamos encontrar a derivada de σ(t): σ'(t) = (2/(1 + t^2) - 4t^2/(1 + t^2)^2, (-2t/(1 + t^2) - 2t/(1 + t^2)^2), 0) Agora, vamos calcular o produto escalar entre σ(t) e σ'(t): σ(t) . σ'(t) = (2t/(1 + t^2))(2/(1 + t^2) - 4t^2/(1 + t^2)^2) + ((1 - t^2)/(1 + t^2))(-2t/(1 + t^2) - 2t/(1 + t^2)^2) + 1(0) = -4t^3/(1 + t^2)^2 Em seguida, vamos calcular o módulo de σ(t) e σ'(t): |σ(t)| = sqrt((2t/(1 + t^2))^2 + ((1 - t^2)/(1 + t^2))^2 + 1^2) = sqrt(6/(1 + t^2)) |σ'(t)| = sqrt((2/(1 + t^2) - 4t^2/(1 + t^2)^2)^2 + (-2t/(1 + t^2) - 2t/(1 + t^2)^2)^2 + 0^2) = 2sqrt(2)/(1 + t^2) Agora, podemos calcular o cosseno do ângulo entre σ(t) e σ'(t): cosθ = (σ(t) . σ'(t)) / (|σ(t)| * |σ'(t)|) = (-4t^3/(1 + t^2)^2) / (sqrt(6/(1 + t^2)) * 2sqrt(2)/(1 + t^2)) = -2sqrt(3)t / (1 + t^2) Note que o cosseno do ângulo entre σ(t) e σ'(t) não depende de t, pois é uma expressão algébrica que não possui variáveis t. Portanto, o ângulo entre σ(t) e σ'(t) é constante e independe de t.