Lista 01

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Lista 1 - Cálculo II
1) Veri�que quais dos conjuntos a seguir são abertos em R2.
a){(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} e){(x, y) ∈ R2|x2 + xy + y2 < 0}
b){(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≥ 1} f){(x, y) ∈ R2|x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}
c){(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3} g){(x, y) ∈ R2|xy > 0}
d){(x, y) ∈ R2|x = 1 e 1 < y < 3} h){(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 e y > 1
2
}
2) Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
a){(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} d){(x, y) ∈ R2|x, y ∈ Z}
b)
{(
1
n
, 1
)
|n 6= 0natural
}
e){(x, y) ∈ R2|x+ y ≥ 1}
c){(x, y) ∈ R2|x = 1; 1 < y < 2} f){(x, y) ∈ R2|x, y ∈ Q}
3) Sejam A e B dois conjuntos do R2. Prove que se A e B forem abertos, então A∪B e A∩B também
serão.
4) Suponha que, para cada natural n,An é um subconjunto do R2. Seja B a reunião de todos os An
e C a interseção de todos os An. Pergunta-se: B é aberto? C é aberto? Justi�que.
5) Dizemos que A ⊂ R2 é um conjunto conjunto limitado se existir um m > 0 tal que ||(x, y)|| < m
para todo (x, y) ∈ A. Prove que se A for limitado e se A contiver um número in�nito de pontos, então
A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A a�rmação continua verdadeira se uma das hipóteses
for omitida?
6) Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva F (t) = (x(t), y(t)) e
determine sua equação cartesiana.
a)x = −1 + t, y = 2− t t ∈ R
b)x = −1 + t2, y = 2− t2 t ∈ R
c)x = cos2 t, y = sin2 t, t ∈ R
7) Faça um esboço das curvas de�nidas pelas seguintes funções vetoriais:
a)σ(t) = (2, 1, t), t ∈ R
b)σ(t) = (t, t, t), t ∈ [−1, 1]
c)σ(t) = (2cost, 3 sin t, 5), t ∈ [0, 2π]
d)σ(t) = (3, cost, sin t), t ∈ [0, π]
e)σ(t) = (t2 − 1, 2, t), t ∈ [0,+∞)
8) Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
a) a reta 2x− 3y = 6
b) a circunferência (x− a)2 + (y − b)2 = r2
c) a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x ≥ a
d) o segmento de reta que liga os pontos A = (−1, 0, 2) e B = (2, 3, 3).
9) Sejam F : A → R3 e G : A → R3. Suponha lim
t→t0
F (t) =
−→
0 e que ||G(t)|| ≤ M para todo t ∈ A,
onde M > 0 é um real �xo. Prove:
a) lim
t→t0
F (t) ·G(t) = 0
b) lim
t→t0
F (t) ∧G(t) = −→0
10) Seja −→r : I → R3, I intervalo, derivável até 2a ordem. Suponha que −→r (t) forneça a posição, no
instante t, de um ponto P que se move no espaço. De�nimos a velocidade −→v (t) e a aceleração −→a (t) de
P , no instante t, por: −→v (t) = d
−→r
dt
(t) e −→a (t) = d
−→v
dt
(t) =
d2−→r
dt2
(t). Determine −→v (t) e −→a (t) sendo:
a)−→r (t) = t−→i + t2−→j + 4
−→
k
b)−→r (t) = cos t−→i + sin t−→j + t
−→
k
c)−→r (t) = −→r0 +−→v0t onde −→r0 e −→v0 são constantes
d)−→r (t) = −→r0 +−→v0t+
1
2
−→a0t2, onde −→r0 , −→v0 e −→a0 são constantes
11) Se σ′(t) = (sin2 t, 2cos2t) e σ(π) = (0, 0), determine σ(t).
12) Seja C a curva parametrizada por σ(t) = (cost, sin t, 1− 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π. Determine a equação
da reta tangente à curva no ponto (−1, 0, 1).
13) Seja σ a função vetorial de�nida por
σ(t) =
(
2t
1 + t2
,
1− t2
1 + t2
, 1
)
.
Mostre que o ângulo entre σ(t) e σ′(t) é constante, isto é, independe de t.
14) Suponha −→u ρ(θ) = cos θ
−→
i + sin θ
−→
j e −→u θ(θ) = − sin θ
−→
i + cos θ
−→
j e −→r (t) = ρ(t)−→u ρ(θ(t)), com
θ = θ(t) e ρ = ρ(t) deriváveis até 2a ordem num intervalo I.
(
Notação: ρ̇ =
dρ
dt
, θ̇ =
dθ
dt
, ρ̈ =
d2ρ
dt2
)
.
Veri�que que:
a)
d
dt
[−→u ρ(θ)] = θ̇−→u θ(θ)
b)
d
dt
[−→u θ(θ)] = −θ̇−→u ρ(θ)
c)−→v = ρ̇−→u ρ + ρθ̇−→u θ
d)−→a = [ρ̈− ρ(θ̇)2]−→u ρ + [2ρ̇θ̇ + ρθ̈]−→u θ
2