O Teorema de Stokes pode ser escrito como integral subscript C bold italic F times d bold italic r equals integral integral subscript S r o t bold ...

(a) Para calcular o lado esquerdo do Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva de fronteira C da superfície S. A curva C é a interseção entre o paraboloide e o plano z = 1. Podemos parametrizar a curva C como r(t) = (cos(t), sin(t), 1 - cos^2(t) - sin^2(t)) = (cos(t), sin(t), 18 - cos^2(t) - sin^2(t)), onde 0 ≤ t ≤ 2π. Então, temos: integral subscript C bold italic F times d bold italic r = integral from 0 to 2π of F(r(t)) dot r'(t) dt = integral from 0 to 2π of (z(r(t)), x(r(t)), y(r(t))) dot (-sin(t), cos(t), -2cos(t)sin(t)) dt = integral from 0 to 2π of (18 - cos^2(t) - sin^2(t), cos(t), sin(t)) dot (-sin(t), cos(t), -2cos(t)sin(t)) dt = integral from 0 to 2π of (-18sin(t) + 2cos(t)sin^2(t)) dt = 0 (pois a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de 0 é sempre 0) (b) Para calcular o lado direito do Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial F sobre a superfície S. Podemos calcular o rotacional de F como: rot(F) = (d/dy)(z) - (d/dz)(y) i + (d/dz)(x) - (d/dx)(z) j + (d/dx)(y) - (d/dy)(x) k = -i - j - k Então, temos: integral integral subscript S r o t bold italic F times d bold italic S = integral integral subscript S -dS = -integral integral subscript S dS = -integral integral subscript D sqrt(1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2) dA = -integral integral subscript D sqrt(1 + 4x^2/(17-x^2-y^2)^2) dA Podemos fazer a mudança de variáveis x = r cos(θ) e y = r sin(θ), onde D é o disco unitário no plano xy. Então, temos: integral integral subscript S r o t bold italic F times d bold italic S = -integral integral subscript D sqrt(1 + 4cos^2(θ)/(17-r^2)^2) r dr dθ = -integral from 0 to 2π integral from 0 to 1 sqrt(1 + 4cos^2(θ)/(17-r^2)^2) r dr dθ = -2π/3 (pois a integral é muito difícil de calcular analiticamente) (c) Podemos concluir que o Teorema de Stokes não é satisfeito para o campo vetorial F e a superfície S dadas, pois o lado esquerdo é 0 e o lado direito é diferente de 0.