Considere os pontos A = (2, 5), B = (n, 2n − 3), C = (n2 + 2, −n2 + 5) e o vetor −→u = (1, −1) para resolver os seguintes itens. (a) Determine o va...

(a) Para encontrar o valor de n, precisamos primeiro encontrar a projeção de AB em u. Temos que: AB = (n - 2, 2n - 8) u = (1, -1) O produto escalar de AB e u é: AB.u = (n - 2) + (-2n + 8) = 6 - n A norma de u é: ||u|| = √(1² + (-1)²) = √2 A projeção de AB em u é: proj_u AB = (AB.u / ||u||²) * u = (6 - n) / 2 * (1, -1) = (3 - n/2, -(3 - n/2)) Agora, precisamos encontrar o vetor AC: AC = (n² + 2 - 2, -n² + 5 - 5) = (n², -n²) Para Proj_u AB ser igual a -AC, precisamos que: proj_u AB = -AC (3 - n/2, -(3 - n/2)) = (-n², n²) Resolvendo o sistema, encontramos: n = -4 ou n = 2 (b) Para n = 2, temos: AB = (0, 1) AC = (6, -3) A área do triângulo ABC é: Area = 1/2 * ||AB x AC|| = 1/2 * ||(1, 6, 1)|| = 5√2/2 (c) Para n = -4, temos: AB = (-6, -11) AC = (14, 21) As bissetrizes dos ângulos formados pelos lados AB e AC são perpendiculares aos segmentos de reta que ligam o ponto médio de cada lado ao vértice oposto. O ponto médio de AB é: M_AB = ((2 + (-4))/2, (5 + (-5))/2) = (-1, 0) O ponto médio de AC é: M_AC = ((-16 + 2)/2, (0 + 5)/2) = (-7, 5/2) A reta que passa por M_AB e pelo vértice B é: y = (-11/6)x + 23/3 A bissetriz do ângulo A é perpendicular a AB e passa por M_AB. Seja P o ponto onde a bissetriz intersecta AB. Temos que: BP / AP = 11 / 6 BP + AP = ||AB|| = √(6² + 11²) = √157 Resolvendo o sistema, encontramos: AP = 2√157/17 BP = 11√157/17 Portanto, o ponto P é: P = (2 - 12√157/17, 5 + 22√157/17) A reta que passa por M_AC e pelo vértice C é: y = (21/16)x + 105/16 A bissetriz do ângulo A é perpendicular a AC e passa por M_AC. Seja Q o ponto onde a bissetriz intersecta AC. Temos que: CQ / AQ = 21 / 16 CQ + AQ = ||AC|| = n√2 Resolvendo o sistema, encontramos: AQ = 16n√2/37 CQ = 21n√2/37 Portanto, o ponto Q é: Q = (n² - 32n√2/37 - 2, 5 - 21n√2/37) Assim, as bissetrizes dos ângulos formados pelos lados AB e AC são as retas que passam pelos pontos P e Q, respectivamente.