AD2 GEOMETRIA ANALITICA 2022.2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
2a Avaliação a Distância - GABARITO
2o Semestre de 2022
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,0 pontos] Considere os pontos A = (2, 5), B = (n, 2n − 3), C = (n2 + 2, −n2 + 5)
e o vetor −→u = (1, −1) para resolver os seguintes itens.
(a) [1,0 ponto] Determine o valor de n de tal forma que Proj−→u
−→
AB = −→AC.
Solução:
Temos que:
−→
AB = (n − 2, 2n − 8),
−→
AC = (n2, −n2) e
||−→u || =
√
2,
substituindo na fórmula da projeção obtemos
Proj−→u
−→
AB = −→AC
⟨
−→
AB, −→u ⟩
||−→u ||2
−→u = −→AC
⟨(n − 2, 2n − 8), (1, −1)⟩
(
√
2)2
(1, −1) = (n2, −n2)
n − 2 − 2n + 8
2 (1, −1) = (n
2, −n2)
−n + 6
2 (1, −1) = (n
2, −n2)
(−n + 62 ,
n − 6
2 ) = (n
2, −n2)
o qual implica
−n + 6
2 = n
2 ⇐⇒ −n + 6 = 2n2 ⇐⇒ 2n2 + n − 6 = 0.
Assim, os valores de n são as ráızes da equação de segundo grau 2n2 + n − 6 = 0, as quais
são:
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n1 =
−1 −
√
12 − 4(2)(−6)
4 =
−1 −
√
49
4 =
−1 − 7
4 = −2
n2 =
−1 +
√
12 − 4(2)(−6)
4 =
−1 +
√
49
4 =
−1 + 7
4 =
3
2 .
(b) [1,0 ponto] Determine a área do triângulo ABC para o valor de n > 0 obtido no item [(a)].
Solução:
Para n = 32 , temos:
B =
(3
2 , 0
)
C =
(17
4 ,
11
4
)
−→
AB =
(
− 12 , −5
)
−→
AC =
(9
4 , −
9
4
)
.
Logo,
Área(∆ABC) =
∣∣∣∣det(−→AB, −→AC)∣∣∣∣
2
= 12
∣∣∣∣(−12 )(−94 ) − (−5)(94)
∣∣∣∣
= 12
∣∣∣∣98 + 454
∣∣∣∣
= 12
∣∣∣∣998
∣∣∣∣
= 9916 .
(c) [1,0 ponto] Determine as bissetrizes das retas que contêm os lados AB e AC para o valor
n < 0 obtido no item [(a)].
Solução:
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Para n = −2, temos:
B = (−2, −7)
C = (6, 1)
−→
AB = (−4, −12)
−→
AC = (4, −4).
Primeiramente determinaremos as equações das retas que contém os lados AB e AC :
Se r1 é a reta que passa pelos pontos A e B, o vetor
−→
AB = (−4, −12) é um vetor paralelo à
r1, e podemos considerar o vetor
−→u 1 = (12, −4) o vetor perpendicular a r1. Assim a equação
parcial da reta r1 é:
r1 : 12x − 4y = c.
Para achar o valor de c, substituimos as coordenada do ponto A na equação de r1, assim
temos:
12(2) − 4(5) = c −→ c = 4.
A equação fica r1 : 12x − 4y = 4, e dividiendo a equação por (4), obtemos:
r1 : 3x − y = 1
Por outro lado, se r2 é a reta que passa pelos pontos A e C, o vetor
−→
AC = (4, −4) é um vetor
paralelo à r2, e podemos considerar o vetor
−→u 2 = (4, 4) o vetor perpendicular à r2. Assim a
equação parcial da reta r2 é:
r2 : 4x + 4y = c.
Para achar o valor de c, substituimos as coordenada do ponto A na equação de r2, assim
temos:
4(2) + 4(5) = c −→ c = 28.
A equação fica r2 : 4x + 4y = 28, e dividiendo a equação por (4), obtemos:
r2 : x + y = 7.
Consideremos s1 e s2 as bissetrizes de r1 e r2, então temos que:
P = (x, y) ∈ s1 ∪ s2 ⇐⇒
3x − y − 1√
32 + 12
= ±x + y − 7√
12 + 11
3x − y − 1√
10
= ±x + y − 7√
2
3x − y − 1√
5
= ±x + y − 71 .
Assim,
s1 :
3x − y − 1√
5
= x + y − 7 ⇐⇒ s1 : (3 −
√
5)x − (1 +
√
5)y = 1 − 7
√
5.
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e
s2 :
3x − y − 1√
5
= −(x + y − 7) ⇐⇒ s2 :
3x − y − 1√
5
= −x − y + 7
⇐⇒ s2 : (3 +
√
5)x − (1 −
√
5)y = 1 + 7
√
5.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere os vértices focais A1 = (−3, 3), A2 = (1, 3) e o vértice não
focal B = (−1, 2) da elipse E para responder os seguintes itens.
(a) [2,0 pontos] Determine a equação da elipse, o centro, os vértices não focais, os focos, a reta
focal, a reta não focal e a excentricidade.
Solução:
Consideremos um sistema de eixos coordenados e localizamos os pontos A1, A2 e B.
Podemos observar que a reta focal a qual passa pelos pontos A1 e A2 é a reta constante
LF : y = 3.
A reta não focal a qual passa pelo vértice não focal B e é perpendicular à reta focal LF , é a
reta constante paralela ao eixo OY , LNF : x = −1.
Logo, o centro da elipse é o ponto médio entre os vértices A1 e A2, e é dado por C = (−1, 3),
assim a equação dessa elipse é da forma
E : (x + 1)
a2
+ (y − 3)
2
b2
= 1,
onde:
a = d(C, A1) ⇐⇒ a =
√
(−3 + 1)2 + (3 − 3)2 =
√
22 ⇐⇒ a = 2
b = d(C, B) ⇐⇒ b =
√
(−1 + 1)2 + (2 − 3)2 =
√
1 ⇐⇒ b = 1.
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Como, c2 = a2 − b2, c2 = 4 − 1 ⇐⇒ c =
√
3.
Temos assim a equação da elipse
E : (x + 1)4 +
(y − 3)2
1 = 1,
onde,
• centro: C = (−1, 3)
• vértices não focais: B1 = (−1, 2) e B2 = (−1, 4)
• focos: F1 = (−1 −
√
3, 3) e F2 = (−1 +
√
3, 3)
• reta focal: LF : y = 3.
• reta não focal: LNF : x = −1.
• excentricidade: e =
√
3
2 .
(b) [1,0 pontos] Faça um gráfico da elipse identificando o centro, os vértices focais, os vértices
não focais, os focos, a reta focal e a reta não focal.
Solução:
Questão 3 [4,0 pontos] Na seguinte figura, considere a circunferência C de raio 5 e centro em
O = (0, 0), a hipérbole H de focos F1 e F2 e o retângulo ABCD onde o lado AB é paralelo ao eixo
OY e tem comprimento 6, F1 e F2 ∈ C ∩ (eixo OX) e A ∈ H ∩ C. Com essas informações responda
os seguintes itens.
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(a) [0,5 ponto] Determine as coordenadas dos focos F1 e F2 da hipérbole H.
Solução:
Observemos que as coordenadas dos focos são os pontos de interseção da circunferência
C : x2 + y2 = 25 com o eixo OX.
Se P = (x, y) ∈ OX ∩ C, então y = 0 e x2 + 02 = 25 =⇒ x = −5 ou x = 5.
Logo, os focos são F1 = (−5, 0) e F2 = (5, 0).
(b) [1,0 ponto] Determine as coordenadas do ponto A.
Solução:
Na figura, podemos observar que os pontos A e B são simétricos, pois são pontos de interseção
do lado AB que é paralelo ao eixo OY com a circunferência.
Se A = (x0, y0), como d(A, B) = 6 =⇒ d(A, OX) = y0 = 3 =⇒ y0 = 3.
Por outro lado, d(O, A) = 5, pois A ∈ C, e o triângulo APO é retângulo. Aplicando o teorema
de Pitágoras
d(A, P ) = x0 =
√
52 − 32 =
√
16 = 4.
Logo, x0 = 4 e A = (4, 3).
(c) [1,5 ponto] Determine a equação da hipérbole H.
Solução:
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Como F1 = (−5, 0) e F2 = (5, 0), o centro da hipérbole é dado por C =
(−5 + 5
2 ,
0
2
)
= (0, 0),
então a equação da hipérbole é da forma:
H : x
2
a2
− y
2
b2
= 1,
onde c2 = a2 + b2.
Para calcular o valor de c, sabemos que d(F1, F2) = 2c, logo
d(F1, F2) =
√
(5 + 5)2 + 02 = 10 = 2c
=⇒ c = 5.
Substituindo as coordenadas do ponto A = (4, 3) e b2 = c2 − a2 = 25 − a2 na equação da
hipérbole.
42
a2
− 3
2
25 − a2 = 1
⇐⇒ 16
a2
− 925 − a2 = 1
⇐⇒ 16(25 − a
2) − 9a2
a2(25 − a2) = 1
⇐⇒ 400 − 16a2 − 9a2 = 25a2 − a4
⇐⇒ a4 − 50a2 + 400 = 0
⇐⇒ (a2 − 10)(a2 − 40) = 0
⇐⇒ a2 = 10 ou a2 = 40
⇐⇒ a =
√
10 ou a =
√
40 = 2
√
10.
Como 5 = c > a, então a =
√
10. Logo b2 = c2 − a2 = 25 − 10 = 15.
Assim a equaçãoda hipérbole é
H : x
2
10 −
y2
15 = 1.
(d) [1,0 ponto] Determine os vértices focais, os vértices não focais, e as equações das asśıntotas
de H.
Solução:
Como a =
√
10, b =
√
15, c = 5 e C = (0.0), então:
• Vértices Focais: A1 = (−
√
10, 0) e A2 = (
√
10, 0).
• Vértices não Focais: B1 = (0, −
√
15) e B2 = (0,
√
15).
• Assintotas: r1 :
√
3x −
√
2y = 0 e r2 :
√
3x +
√
2y = 0.
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