A reta p x + y + r = 0 , p e r reais, é tangente a função f ( x ) = 13 l n ( x 2 + 4 x + 8 ) , no ponto de abscissa igual a 1. Determine o valor...

Para determinar o valor de p, podemos utilizar o conceito de derivada da função. Primeiramente, vamos encontrar a derivada da função f(x): f(x) = 13ln(x^2 + 4x + 8) f'(x) = 13 * 1/(x^2 + 4x + 8) * (2x + 4) f'(1) = 13 * 1/(1^2 + 4*1 + 8) * (2*1 + 4) f'(1) = 13/13 * 6 f'(1) = 6 Agora, sabemos que a reta p*x + y + r = 0 é tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1. Isso significa que a reta tem a mesma inclinação da reta tangente à função nesse ponto. A inclinação da reta tangente à função no ponto x = 1 é dada pela derivada da função nesse ponto, ou seja, f'(1) = 6. Portanto, a inclinação da reta p*x + y + r = 0 é 6. Como a reta é tangente à função no ponto x = 1, podemos substituir esses valores na equação da função para encontrar o valor de y nesse ponto: f(1) = 13ln(1^2 + 4*1 + 8) f(1) = 13ln(13) Agora, podemos utilizar a equação da reta p*x + y + r = 0 e as informações que temos para encontrar o valor de p: p*1 + 13ln(13) + r = 0 p + r = -13ln(13) Sabemos que a inclinação da reta é 6, então podemos escrever: p = -6 Substituindo na equação da reta, temos: -6 + r = -13ln(13) r = -13ln(13) + 6 Portanto, a equação da reta tangente à função f(x) no ponto de abscissa igual a 1 é: -6x + y - 13ln(13) + 6 = 0