Avaliação II - Individual Calculo I

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:883781)
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Prova 71612470
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Nota 7,00
A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial. Essas regras 
são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e 
eficiente. Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em 
relação à sua variável independente. Analise cada uma das sentenças a seguir, classificando V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 
derivada da primeira função pela segunda função.
( ) A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao 
produto do número real pela função elevada a esse número menos um.
( ) A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual 
à constante multiplicada pela derivada da função.
( ) A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das 
duas funções individuais.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V
B F - V - F - F
C F - F - V - V
D V - V - F - F
Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - PauloClique para baixar o anexo da questão
Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é 
utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um 
determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x) = - 2x³ + 2x + 1 no 
ponto (-1, 1):
A y = 4x - 3.
B y = 4x + 3.
C y = -4x + 3.
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D y = -4x - 3.
A regra da potência na derivação desempenha um papel crucial na análise de polinômios. Essa regra 
além de ser uma das mais simples, é uma ferramenta essencial para entender e modelar fenômenos 
descritos por polinômios, tornando a análise e interpretação dos gráficos dessas funções mais 
eficientes e precisas.
Utilizando dessa regra, derive a função f(x) = 2x5/5 - 4x2 + 28, e acerca do resultado, assinale a 
alternativa CORRETA:
A f'(x) = 10x4 - 8x + 28.
B f'(x) = 2x4 - 8x.
C f'(x) = 10x4 + 8x.
D f'(x) = 2x4 - 4x.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela 
também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao 
ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da 
tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais 
vezes. 
Desta forma, sendo a função g(x) = 3x4 - 2x-2 + 4x, assinale a alternativa que apresenta a derivada 
segunda desta função.
A g''(x) = 36x2 - 12x-4
B g''(x) = 12x3 + 4x-3 + 4
C g''(x) = 12x3 - 4x-3 + 4
D g''(x) = 36x2 + 12x-4
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, 
exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a 
operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em 
achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.
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Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x² - 4x +3 para todo x e 
f(3)=5 e assinale a alternativa CORRETA:
A Apenas I.
B Apenas III.
C Apenas II.
D Apenas IV.
A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função 
ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta 
forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações 
cruciais sobre o seu comportamento local e global.
Assim sendo, seja a função f(t) = t3 + 3t2 - t, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua 
derivada:
A f'(t) = 6t + 6.
B f'(t) = 3t2 + 6t - 1.
C f'(t) = 3t2 + 6t - t.
D f'(t) = 3t2 + 6.
O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. 
O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas 
diferenciais e que satisfaz a equação dada. 
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Então, para a equação diferencial y' + 2y = 4 (ou seja, a derivada primeira somada com o dobro da 
própria função é igual a 4), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
A F - V - F - V.
B F - F - V - V.
C V - V - F - F.
D V - F - V - F.
A derivada de uma função em um determinado ponto mede a taxa de variação instantânea dessa 
função nesse ponto, indicando como a função está se comportando e o quanto ela está se aproximando 
ou afastando de uma reta tangente naquele ponto.
Seja a função f(x) = 3x2 + cos(2x), assinale a alternativa que apresenta a sua derivada.
A f'(x) = -6x + 2·sen(2x).
B f'(x) = 6x - 2·sen(2x).
C f'(x) = 6x - sen(2x).
D f'(x) = 6x + sen(2x).
Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.
Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried 
Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma 
função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) y = sin(3x²), implica em y' = 6x·sin(3x).
( ) y = ln(-x²), implica em y' = -2/x.
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²).
( ) y = (1 - 2x)³, implica em y' = -6·(1 - 2x)².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - V.
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D V - V - V - F.
A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para 
determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da 
Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função 
inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x 
correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando 
temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: 
basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a 
derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. 
Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ + 2x + 1 no ponto (1, 4) e assinale a 
alternativa CORRETA:
A g'(4) = 1/2.
B g'(4) = 1/4.
C g'(4) = 1/5.
D g'(4) = 1/3.
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