5. Considere um oscilador harmônico unidimensional com energia entre E e E + δE. O hamil- toniano clássico desse sistema é dado por H = p2/2m + ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o teorema de Liouville, que afirma que o volume no espaço de fase é conservado ao longo do tempo para um sistema hamiltoniano. O espaço de fase acessível ao sistema é dado por Ω(E, δE) = ∫dp∫dx δ(E - H(x,p))δ(E+δE - H(x,p)) (1), onde δ é a função delta de Dirac. Substituindo o hamiltoniano H na equação (1), temos: Ω(E, δE) = ∫dp∫dx δ(E - p²/2m - kx²/2)δ(E+δE - p²/2m - kx²/2) (2) Podemos simplificar a equação (2) utilizando a função delta de Dirac para eliminar a integral em p. Para isso, vamos escrever a energia E como E = (p²/2m + kx²/2) + (E - p²/2m - kx²/2). Então, podemos escrever a equação (2) como: Ω(E, δE) = ∫dx δ(E - p²/2m - kx²/2)δ(E+δE - p²/2m - kx²/2) = ∫dx δ(E - p²/2m - kx²/2)δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) Agora, podemos utilizar a função delta de Dirac para eliminar a integral em x. Para isso, vamos escrever a equação (3) como: Ω(E, δE) = ∫dx δ(E - p²/2m - kx²/2)δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) = 2∫dx δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) / ∣d(δE - (p²/2m + kx²/2 - E))/dp∣ Derivando a expressão dentro da integral em relação a p, temos: d(δE - (p²/2m + kx²/2 - E))/dp = -p/m Substituindo na equação (4), temos: Ω(E, δE) = 2∫dx δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) / ∣d(δE - (p²/2m + kx²/2 - E))/dp∣ = 2∫dx δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) / ∣p/m∣ = 2∫dx δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) / (p/m) = 2∫dx δ(δE - (p²/2m + kx²/2 - E)) / √(2m(E - δE) - 2mkx²) Agora, podemos utilizar a mudança de variáveis x' = x/√(E - δE)/k para simplificar a integral. Temos: Ω(E, δE) = 2∫dx' δ(δE - (p²/2m + kx'²(E - δE)/2 - E)) / √(2m(E - δE) - 2mk(E - δE)x'²) = 2∫dx' δ(δE - (p²/2m + kx'²(E - δE)/2 - E)) / √2mk(E - δE) √(1 - x'²) = 2π√(m/k)δE Portanto, o espaço de fase acessível ao sistema é dado por Ω(E, δE) = 2π√(m/k)δE.