2. A f unção gama é definida por Γ(N + 1) = ∫∞0 xNe−Ndx. (2) (a) Note que a função gamma coincide com N ! para valores inteiros positivos de N...

(a) Para valores inteiros positivos de N, podemos reescrever a função gama como Γ(N + 1) = ∫∞0 x^N e^(-x) dx. Se N é um número inteiro positivo, podemos reescrever a integral como Γ(N + 1) = N!. (b) Para mostrar que Γ(N) = (N - 1)Γ(N - 1), podemos usar integração por partes. Temos: Γ(N) = ∫∞0 x^(N-1) e^(-x) dx Fazendo u = x^(N-1) e dv = e^(-x) dx, temos du = (N-1)x^(N-2) dx e v = -e^(-x) Então, temos: Γ(N) = [-x^(N-1) e^(-x)]∞0 + ∫∞0 (N-1)x^(N-2) e^(-x) dx Γ(N) = 0 + (N-1) ∫∞0 x^(N-2) e^(-x) dx Γ(N) = (N-1) Γ(N-1) (c) Para mostrar que Γ(1) = 1, podemos usar a definição da função gama: Γ(1) = ∫∞0 x^0 e^(-x) dx Γ(1) = ∫∞0 e^(-x) dx Γ(1) = [-e^(-x)]∞0 Γ(1) = 1 Para mostrar que Γ(1/2) = √π, podemos usar a substituição x = t^2 e a definição da função gama: Γ(1/2) = ∫∞0 x^(-1/2) e^(-x) dx Fazendo x = t^2, temos dx = 2t dt e x^(-1/2) = t^(-1) Então, temos: Γ(1/2) = 2 ∫∞0 e^(-t^2) dt Γ(1/2)^2 = 4 ∫∞0 e^(-t^2) dt ∫∞0 e^(-u^2) du Γ(1/2)^2 = 4 ∫∫ e^(-t^2-u^2) dt du Fazendo a mudança para coordenadas polares, temos: Γ(1/2)^2 = 4 ∫∞0 ∫π0 e^(-r^2) r dr dθ Γ(1/2)^2 = 4 ∫∞0 e^(-r^2) r dr ∫π0 dθ Γ(1/2)^2 = 2 ∫∞0 e^(-r^2) r dr Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r dr e r = √u, então: Γ(1/2)^2 = 2 ∫∞0 e^(-u) du Γ(1/2)^2 = 2 [-e^(-u)]∞0 Γ(1/2)^2 = 2 Γ(1/2) = √2 Mas sabemos que √2 ≠ √π, então precisamos multiplicar por um fator de correção. Esse fator é dado por: Γ(1/2) = √π/2 Portanto, Γ(1/2) = √π.