1. Considere X uma variável aleatória que assume os valores discretos k = 0, 1, 2, 3, · · ·, com uma distribuição de probabilidades de Poisson:...

(a) Para mostrar que a distribuição está normalizada, precisamos mostrar que a soma de todas as probabilidades é igual a 1. Podemos fazer isso usando a série de Taylor para a função exponencial: ∑∞ k=0 e−λλk / k! = 1 + λ + λ²/2! + λ³/3! + · · · Observe que essa é a série de Taylor para ex com x = λ. Portanto, a soma de todas as probabilidades é igual a ex, que é igual a 1, pois a exponencial de 0 é igual a 1. (b) O valor esperado de uma variável aleatória é dado por: 〈X〉 = ∑∞ k=0 k P(X=k) Substituindo a distribuição de Poisson, temos: 〈X〉 = ∑∞ k=0 k e−λλk / k! Podemos reescrever essa soma como: 〈X〉 = ∑∞ k=1 k e−λλk / k! + 0 Observe que o primeiro termo dessa soma é a derivada da série de Taylor para ex com x = λ. Portanto, temos: 〈X〉 = ex = λ ex = λ Portanto, o valor esperado da distribuição de Poisson é igual a λ.