Mostre que: (a) ex > x, ∀x ∈ R (b) ex > x^2/2, ∀x ≥ 0 a) Provar que ex > x, ∀x ∈ R b) Provar que ex > x^2/2, ∀x ≥ 0

a) Para provar que ex > x, ∀x ∈ R, podemos usar a série de Taylor para ex: ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Podemos ver que cada termo da série é positivo para qualquer valor de x. Além disso, a série é infinita e converge para ex para qualquer valor de x. Portanto, podemos afirmar que ex > x, ∀x ∈ R. b) Para provar que ex > x²/2, ∀x ≥ 0, podemos usar a mesma série de Taylor para ex: ex = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... Podemos ver que cada termo da série é positivo para qualquer valor de x ≥ 0. Além disso, a série é infinita e converge para ex para qualquer valor de x. Podemos truncar a série após o segundo termo e obter: ex > 1 + x Podemos ver que 1 + x é a equação de uma reta com intercepto em y = 1 e inclinação 1. Portanto, podemos afirmar que ex > x²/2, ∀x ≥ 0.