Mostre que se é diferenciável e , então o wronskiano de duas soluções de é , onde é uma constante. Seja y1 e y2 duas soluções de y'' + p(t)y' + q(...

Mostre que se é diferenciável e , então o wronskiano de duas soluções de é , onde é uma constante.

Seja y1 e y2 duas soluções de y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
O wronskiano é dado por W(y1, y2) = y1y2' - y1'y2
Se y1 e y2 são soluções de y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, então y1' = y2 e y2' = -p(t)y2 - q(t)y1
Substituindo y1' e y2' na fórmula do wronskiano, temos: W(y1, y2) = y1y2' - y1'y2 = y1y2' - y2(-p(t)y1 - q(t)y2)
Simplificando, temos: W(y1, y2) = y1y2' + y2p(t)y1 + y2q(t)y2
Derivando a expressão acima em relação a t, temos: W'(y1, y2) = y1y2'' + y1'y2' + y2p(t)y1 + y2p(t)y1 + y2q(t)y2 + y2q(t)y2'
Substituindo y1'' e y2'' pelas expressões dadas, temos: W'(y1, y2) = -p(t)y1'y2' - q(t)y1y2 + p(t)y1y2' + p(t)y2y1' + q(t)y2y2' + q(t)y2'y2
Simplificando, temos: W'(y1, y2) = p(t)(y1y2' - y1'y2) + q(t)(y2y2' - y1y2)
Como y1 e y2 são soluções de y'' + p(t)y' + q(t)y = 0, então y1y2' - y1'y2 = W(y1, y2) = constante