P2 - Calculo 3 - Rosa

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UFES – CCE - DMAT 
Universidade Federal do Espírito Santo 
2ª Prova de Cálculo IIIA - GABARITO - Prof. Antonio Luiz Rosa 
 
 (Justifique sempre tuas respostas) 
 
1. (2,0 pontos) (a) Mostre que a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
não é exata; 
(b) Encontre um fator integrante para a equação; 
(c) Resolva a equação. 
 
Solução: (a) Temos aqui 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 . 
 Então, 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
. 
Vemos aqui que e com isso, a equação diferencial dada não é exata. 
(b) Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não depende de uma única variável ou . Então, calculemos 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como depende apenas de , então existe um fator integrante que 
depende, também só de . 
Assim, temos que a função, fator integrante, satisfaz a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Resolvendo a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última equação, agora, é exata, com 
 
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 Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e a equação diferencial torna-se 
 
 
 
Temos, 
 
 
Assim, 
 
 
Daí, 
 
Logo as soluções da equação diferencial são dadas implicitamente por 
 
 
2. (2,0 pontos) Resolva o PVI: 
 , , 
e mostre que a solução encontrada não assume máximos para valores de . 
 
Solução: Aqui usaremos o Método do Fator Integrante: 
Reescrevendo a equação da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos assim que e . Temos que é contínua em e 
consequentemente, o P.V.I tem uma solução em . 
Cálculo do fator integrante: 
 
 
 
 
Daí, multiplicando na equação, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
e portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segue que é a solução geral da equação diferencial, onde é uma 
constante arbitrária. 
Agora, aplicando a condição inicial , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
Logo, 
 é a solução do P.V.I. dado. 
3 
 
Agora, vamos mostrar que a solução encontrada não assume máximos para valores de 
 . 
Do Cálculo 1, sabemos que a função assume um máximo em se tivermos: 
 e 
 . Derivando , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
Assim, vemos que a função solução do P.V.I. só poderá assumir máximos se . 
 
 
3. (2,0 pontos) Encontre a solução geral , onde é uma 
solução particular e é um conjunto fundamental de soluções de , da 
equação diferencial : 
a) Usando o método dos Coeficientes Indeterminados; 
b) Usando o Método de Variação dos Parâmetros. 
Solução: Considerando a equação homogênea , a equação característica 
associada é que possui duas raízes reais e iguais, . 
Assim, 
 e 
 formam um conjunto fundamental de soluções. 
Desta forma, a solução geral da equação não homogênea é dada 
por 
 
onde é uma solução particular da equação não homogênea . 
Desta forma, resta-nos encontrar uma função tal que . 
 
a) Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados: 
Inicialmente, procuramos uma função tal que . Visto que 
 , vamos supor então que . 
Calculemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação não homogênea , obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Como , não existe escolha de que satisfaça a equação. 
 
Outra escolha para a função , é . 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação não homogênea , obtemos: 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , não existe escolha de tal que possa 
satisfaça a equação. 
Para este tipo de problema reincidente, outra escolha para a função , é . 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação não homogênea , obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução particular é 
 
e consequentemente, a solução geral é dada por 
 
 
 
 
b) Usando o Método de Variação dos Parâmetros: 
Inicialmente, reescrevemos a equação diferencial na forma: 
 
 calculemos , o wronskiano das funções e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, pelo método de variação dos parâmetros, segue que a solução particular é dada por 
 , onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução particular é 
 
 
e consequentemente, a solução geral é dada por 
 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI 
 
 
 
em forma explícita e o intervalo no qual a solução está definida. 
 
Solução: Escreva a equação dada na forma 
 
 
 
 
 
 
 
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Condição inicial dada, ; daí 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer função diferencial que satisfaz a equação 
 
 
 
 
é uma solução da equação diferencial dada. 
A forma explícita da solução do P.V.I. é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) Conhecendo como uma solução da equação diferencial 
 , para , use o método de redução de ordem para encontrar uma 
segunda solução linearmente independente . 
 
Solução: Vamos fazer . Então 
 
 
 
Substituindo na Equação Diferencial resulta: 
 
 
A equação é linear na variável . 
Assim,Deste modo, 
 
 . 
Tomando e , obtemos 
 . 
Portanto, as funções e 
 , formam um conjunto fundamental de 
soluções para a equação diferencial , para . 
____________________________________________ Ponto Extra _____________________________________________ 
6. (1,0 ponto) Mostre que se é diferenciável e , então o wronskiano 
de duas soluções de é , onde é uma 
constante. 
 
Solução: Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde e . Pelo Teorema de Abel temos que