Verifique se a integral imprópria abaixo converge ou diverge. Encontre o valor, no caso de convergir. ∫ 10 5 1/(x− 5)^2 dx. Verificar se a integra...

Para verificar se a integral imprópria ∫ 10 5 1/(x− 5)^2 dx converge ou diverge, podemos utilizar o critério de convergência de integrais impróprias de função contínua e positiva. Assim, temos que a função f(x) = 1/(x-5)^2 é contínua e positiva no intervalo [5, 10), exceto em x = 5. Além disso, temos que: ∫ 10 5 1/(x− 5)^2 dx = lim t → 5+ ∫ 10 t 1/(x− 5)^2 dx Fazendo a substituição u = x - 5, temos: ∫ 10 t 1/(x− 5)^2 dx = ∫ 5+t-5 t 1/u^2 du = [-1/u]t 5+t-5 = 1/5 - 1/(5+t) Assim, temos que: lim t → 5+ ∫ 10 t 1/(x− 5)^2 dx = lim t → 5+ (1/5 - 1/(5+t)) = 1/5 Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é 1/5.