Determine as seguintes integrais: (a) ∫ x3 √ x2 + 1 dx (0.9) (b) ∫ 1 x2 − 2x− 8 dx (0.8) (c) ∫ 1 x2 + 6x+ 10 dx (0.7) (a) ∫ x3 √ x2 + 1 dx (...

(a) Para resolver a integral ∫ x³/√(x²+1) dx, podemos fazer a substituição trigonométrica x = tan(t), o que nos leva a dx = sec²(t) dt e x² + 1 = sec²(t). Substituindo na integral, temos: ∫ x³/√(x²+1) dx = ∫ tan³(t) sec²(t) dt Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica sec²(t) = tan²(t) + 1, o que nos leva a: ∫ x³/√(x²+1) dx = ∫ tan³(t) (tan²(t) + 1) dt ∫ x³/√(x²+1) dx = ∫ tan⁵(t) dt + ∫ tan³(t) dt A primeira integral pode ser resolvida usando a fórmula de redução de potência para tangente, o que nos leva a: ∫ tan⁵(t) dt = (1/4) tan⁴(t) - (1/2) ∫ tan²(t) dt ∫ tan⁵(t) dt = (1/4) tan⁴(t) - (1/2) (tan²(t) - ln|cos(t)|) + C A segunda integral pode ser resolvida usando a fórmula de redução de potência para tangente novamente, o que nos leva a: ∫ tan³(t) dt = (1/2) tan²(t) - ln|cos(t)| + C Substituindo de volta x = tan(t), temos: ∫ x³/√(x²+1) dx = (1/4) (x²+1)² tan⁻¹(√(x²+1)) - (1/2) (x² - 1) √(x²+1) + ln|x + √(x²+1)| + C Substituindo x = 0.9, temos: ∫ 0.9³/√(0.9²+1) dx ≈ 0.424 (b) Para resolver a integral ∫ (x² - 2x - 8) dx, podemos usar a regra da soma e a regra da constante na integral, o que nos leva a: ∫ (x² - 2x - 8) dx = ∫ x² dx - ∫ 2x dx - ∫ 8 dx ∫ (x² - 2x - 8) dx = (1/3) x³ - x² - 8x + C Substituindo x = 0.8, temos: ∫ 1/0.8² - 2/0.8 - 8 dx ≈ -9.5 (c) Para resolver a integral ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx, podemos fazer a substituição trigonométrica x + 3 = 2 tan(t), o que nos leva a dx = 2 sec²(t) dt e x² + 6x + 10 = 4 tan²(t) + 4. Substituindo na integral, temos: ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = ∫ 1/(4 tan²(t) + 4) 2 sec²(t) dt ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = (1/2) ∫ cos²(t)/sin²(t) dt Podemos usar a identidade trigonométrica cos²(t) = (1 + tan²(t))/(1 + tan²(t)) para simplificar a expressão, o que nos leva a: ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = (1/2) ∫ (1 + tan²(t))/(sin²(t) (1 + tan²(t))) dt ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = (1/2) ∫ cosec²(t) dt + (1/2) ∫ dtan²(t) dt As duas integrais podem ser resolvidas usando as fórmulas de integração para cosecante e tangente, o que nos leva a: ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = (1/2) (-cot(t)) + (1/2) (tan(t) - t) + C Substituindo de volta x + 3 = 2 tan(t), temos: ∫ 1/(x² + 6x + 10) dx = (1/2) (-2/(x + 3)) + (1/2) ((x + 3)/2 - tan⁻¹((x + 3)/2)) + C Substituindo x = 0.7, temos: ∫ 1/(0.7² + 6(0.7) + 10) dx ≈ 0.146