Q2. Calcule as integrais: (a) (1,0 ponto) ∫ sin3 x cos2 x dx; (b) (1,0 ponto) ∫ π/2 0 sin2 x dx.

(a) Para calcular a integral ∫ sin³x cos²x dx, podemos usar a substituição trigonométrica. Fazemos u = sin x, então du/dx = cos x e dx = du/cos x. Substituindo na integral, temos: ∫ sin³x cos²x dx = ∫ u³(1 - u²) du Podemos expandir o produto u³(1 - u²) e integrar termo a termo: ∫ u³(1 - u²) du = ∫ (u³ - u^5) du = 1/4 u^4 - 1/6 u^6 + C Substituindo de volta u = sin x, temos: ∫ sin³x cos²x dx = 1/4 sin^4x - 1/6 sin^6x + C (b) Para calcular a integral ∫ sin²x dx, podemos usar a identidade trigonométrica sin²x + cos²x = 1, que implica em cos²x = 1 - sin²x. Substituindo na integral, temos: ∫ sin²x dx = ∫ (1 - cos²x) dx = x - 1/2 sin 2x + C Agora, substituindo os limites de integração, temos: ∫ π/2 0 sin²x dx = [π/2 - 1/2 sin π] - [0 - 1/2 sin 0] = π/2 - 0 = π/2