(2,0 pontos) Mostre que a integral imprópria abaixo diverge.∫ ∞ 0 1 / x ln(x) dx.

Para mostrar que a integral ∫∞0 1/xln(x)dx diverge, podemos utilizar o critério de convergência de Cauchy para integrais impróprias. Seja M > 0. Então, para qualquer n > 1, temos: ∫n1 1/xln(x)dx = ln(ln(n)) Assim, temos: ∫∞0 1/xln(x)dx = limn→∞ ∫n1 1/xln(x)dx = limn→∞ ln(ln(n)) = +∞ Portanto, a integral ∫∞0 1/xln(x)dx diverge.