Calcule ∫ sen²x cos³ x dx .

Para resolver essa integral, podemos utilizar a substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição u = sen(x), então du/dx = cos(x) e dx = du/cos(x). Substituindo na integral, temos: ∫sen²x cos³x dx = ∫u² (1 - u²)³/2 du Agora, podemos utilizar a fórmula de redução de potência para simplificar a expressão (1 - u²)³/2: 1 - u² = cos²(x) (1 - u²)³/2 = cos³(x) Substituindo na integral, temos: ∫sen²x cos³x dx = ∫u² cos³(x) du Agora, podemos integrar essa expressão utilizando a fórmula de integração por partes, com u² como u e cos³(x) como dv: ∫u² cos³(x) du = u³/3 cos³(x) - ∫u cos²(x) (-3/2 sin(x) dx) Substituindo u = sen(x), temos: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) + 3/2 ∫sen(x) cos²(x) dx Agora, podemos utilizar a substituição trigonométrica novamente, com v = cos(x), então dv/dx = -sen(x) e dx = -dv/sen(x). Substituindo na integral, temos: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) + 3/2 ∫(1 - v²) v² (-dv/sen(x)) Simplificando a expressão, temos: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) - 3/2 ∫v² dv + 3/2 ∫v⁴ dv/sen(x) Integrando, temos: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) - v³/2 + 3/10 v⁵/sen(x) + C Substituindo v = cos(x), temos: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) - cos³(x)/2 + 3/10 cos⁵(x)/sen(x) + C Portanto, a resposta é: ∫sen²x cos³x dx = sen³(x)/3 cos³(x) - cos³(x)/2 + 3/10 cos⁵(x)/sen(x) + C