Calcule as seguintes integrais. (a) ∫ cos^5(x) sen^3(x)dx (b) ∫ e^(3x) sen(x) dx (c) ∫ 1/(x^2 + 2x + 1) dx Calcular a integral ∫ cos^5(x) sen^3(x)...

(a) Para calcular a integral ∫ cos^5(x) sen^3(x)dx, podemos utilizar a substituição trigonométrica. Fazemos a substituição u = cos(x), então du/dx = -sen(x) e dx = du/-sen(x). Substituindo na integral, temos: ∫ cos^5(x) sen^3(x)dx = ∫ cos^5(x) sen^2(x) sen(x)dx = ∫ cos^5(x) (1 - cos^2(x)) sen(x)dx = -∫ (1 - u^2)^2/2 du = -∫ (1 - 2u^2 + u^4)/2 du = -u/2 + 2u^3/6 - u^5/10 + C = -cos(x)/2 + 2cos^3(x)/6 - cos^5(x)/10 + C (b) Para calcular a integral ∫ e^(3x) sen(x) dx, podemos utilizar a integração por partes. Fazemos u = sen(x), então du/dx = cos(x) e dv/dx = e^(3x), então v = (1/3)e^(3x). Substituindo na fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^(3x) sen(x) dx = (1/3)e^(3x) sen(x) - (1/3)∫ e^(3x) cos(x) dx Podemos utilizar a integração por partes novamente para calcular a segunda integral. Fazemos u = cos(x), então du/dx = -sen(x) e dv/dx = e^(3x), então v = (1/3)e^(3x). Substituindo na fórmula de integração por partes, temos: ∫ e^(3x) cos(x) dx = (1/3)e^(3x) cos(x) + (1/3)∫ e^(3x) sen(x) dx Substituindo na primeira fórmula, temos: ∫ e^(3x) sen(x) dx = (1/3)e^(3x) sen(x) - (1/9)e^(3x) cos(x) - (1/9)∫ e^(3x) sen(x) dx Multiplicando tudo por 9, temos: 9∫ e^(3x) sen(x) dx = 3e^(3x) sen(x) - e^(3x) cos(x) - 3∫ e^(3x) sen(x) dx Isolando a integral, temos: 12∫ e^(3x) sen(x) dx = 3e^(3x) sen(x) - e^(3x) cos(x) ∫ e^(3x) sen(x) dx = (1/4)e^(3x) sen(x) - (1/12)e^(3x) cos(x) + C (c) Para calcular a integral ∫ 1/(x^2 + 2x + 1) dx, podemos utilizar a técnica de completar o quadrado. Temos: x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 Fazemos a substituição u = x + 1, então du/dx = 1 e dx = du. Substituindo na integral, temos: ∫ 1/(x^2 + 2x + 1) dx = ∫ 1/(u^2) du = ln|u| + C = ln|x + 1| + C