Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ sec6 x tg5 x dx, (b) ∫ ln x x1/3 dx, (c) ∫ 2x2 − 2x+ 1 (x− 1)(x− 2)2 dx. (a) (b) (...

(a) Para calcular a integral ∫sec^6(x)tg^5(x)dx, podemos fazer a substituição u = sec(x), du = sec(x)tg(x)dx. Então, a integral se torna: ∫sec^6(x)tg^5(x)dx = ∫u^4(du) = (1/5)u^5 + C = (1/5)sec^5(x) + C (b) Para calcular a integral ∫ln(x)x^(1/3)dx, podemos fazer a substituição u = ln(x), du = (1/x)dx. Então, a integral se torna: ∫ln(x)x^(1/3)dx = ∫u(3e^u/3)(du) = 3∫ue^u(du) = 3(u - 1)e^u + C = 3(ln(x) - 1)x^(1/3) + C (c) Para calcular a integral ∫2x^2/(x-1)(x-2)^2dx, podemos usar a decomposição em frações parciais. Primeiro, escrevemos: 2x^2/((x-1)(x-2)^2) = A/(x-1) + B/(x-2) + C/(x-2)^2 Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)^2, obtemos: 2x^2 = A(x-2)^2 + B(x-1)(x-2) + C(x-1) Substituindo x = 1, obtemos: 2 = C Substituindo x = 2, obtemos: 8A = 0 A = 0 Substituindo A e C na equação original e simplificando, obtemos: 2x^2/((x-1)(x-2)^2) = B/(x-2) + 2/(x-2)^2 Então, a integral se torna: ∫2x^2/((x-1)(x-2)^2)dx = ∫B/(x-2)dx + ∫2/(x-2)^2dx A primeira integral é simplesmente Bln|x-2| + C. Para a segunda integral, podemos fazer a substituição u = x-2, du = dx, e obtemos: ∫2/(x-2)^2dx = -2/(x-2) + C Então, a integral original é: ∫2x^2/((x-1)(x-2)^2)dx = Bln|x-2| - 2/(x-2) + C Para encontrar o valor de B, podemos usar a equação original: 2x^2 = B(x-1)(x-2) + 2B(x-2)^2 Substituindo x = 0, obtemos: -4B = 0 B = 0 Então, a integral final é: ∫2x^2/((x-1)(x-2)^2)dx = -2/(x-2) + C