Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ tg8 x sen5 x dx, (b) ∫ x2cos (2x) dx, (c) ∫ 2x2 + 2x+ 1 (x− 1)(x2 + 4) dx. (a) (b)...

(a) Para calcular a integral ∫tg8 x sen5 x dx, podemos fazer a substituição u = tg8 x, então du = 8sec²8 x dx e a integral se torna: ∫tg8 x sen5 x dx = ∫(u/8) * (1/u^2 + 1)^2 du Podemos simplificar a expressão para: ∫tg8 x sen5 x dx = 1/8 ∫(u^2 + 1) ^-2 du Usando a fórmula de integração, temos: ∫tg8 x sen5 x dx = -1/6(u^2 + 1)^-3/2 + C Substituindo de volta u = tg8 x, temos: ∫tg8 x sen5 x dx = -1/6(tg^2 8 x + 1)^-3/2 + C (b) Para calcular a integral ∫x^2 cos(2x) dx, podemos usar integração por partes, com u = x^2 e dv = cos(2x) dx. Então, du = 2x dx e v = 1/2 sen(2x). A integral se torna: ∫x^2 cos(2x) dx = x^2 (1/2 sen(2x)) - ∫2x (1/2 sen(2x)) dx Simplificando, temos: ∫x^2 cos(2x) dx = 1/2 x^2 sen(2x) - 1/2 ∫sen(2x) dx Usando a fórmula de integração, temos: ∫x^2 cos(2x) dx = 1/2 x^2 sen(2x) + 1/4 cos(2x) + C (c) Para calcular a integral ∫(2x^2 + 2x + 1) / ((x-1)(x^2 + 4)) dx, podemos usar decomposição em frações parciais. Primeiro, dividimos o denominador para obter: (2x^2 + 2x + 1) / ((x-1)(x^2 + 4)) = A/(x-1) + Bx/(x^2 + 4) Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2 + 4), temos: 2x^2 + 2x + 1 = A(x^2 + 4) + Bx(x-1) Substituindo x = 1, obtemos A = 1/5. Substituindo x = 0, obtemos B = -1/4. Então, a integral se torna: ∫(2x^2 + 2x + 1) / ((x-1)(x^2 + 4)) dx = ∫1/(x-1) dx - 1/4 ∫x/(x^2 + 4) dx + 1/5 ∫4/(x^2 + 4) dx Usando a fórmula de integração, temos: ∫(2x^2 + 2x + 1) / ((x-1)(x^2 + 4)) dx = ln|x-1| - 1/4 ln(x^2 + 4) - 1/5 arctan(x/2) + C Justificativa: Para resolver as integrais, utilizamos técnicas de integração, como substituição, integração por partes e decomposição em frações parciais. Em cada etapa, mostramos as operações realizadas e justificamos as fórmulas utilizadas.