4) (2,4 pontos) Dada a função f(x) = (2x + 1)/(x^2 + x - 1), pede-se: (a) Determine o domínio da função; (b) Identifique o(s) ponto(s) de descontin...

(a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x que tornam a expressão (x^2 + x - 1) diferente de zero, pois não podemos dividir por zero. Para encontrar esses valores, podemos resolver a equação x^2 + x - 1 = 0 e verificar os intervalos que a função é contínua. Resolvendo a equação, encontramos x = (-1 + sqrt(5))/2 e x = (-1 - sqrt(5))/2. Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os valores de x diferentes desses dois valores. (b) A função é contínua em todo o seu domínio, pois não há valores que tornam o denominador igual a zero. (c) Para calcular o limite da função quando x tende a menos infinito, podemos dividir todos os termos da expressão por x^2 e obter (2/x + 1/x^2)/(1 + 1/x - 1/x^2). Como x tende a menos infinito, os termos 1/x^2 e -1/x^2 tendem a zero, e os termos 1/x e -1/x tendem a zero mais rapidamente do que 2/x. Portanto, o limite da função quando x tende a menos infinito é zero. Para calcular o limite da função quando x tende a mais infinito, podemos dividir todos os termos da expressão por x^2 e obter (2/x + 1/x^2)/(1 + 1/x - 1/x^2). Como x tende a mais infinito, os termos 1/x^2 e -1/x^2 tendem a zero, e os termos 1/x e -1/x tendem a zero mais rapidamente do que 2/x. Portanto, o limite da função quando x tende a mais infinito é zero. (d) A função não possui assíntotas horizontais. (e) Os limites laterais não são necessários, pois a função é contínua em todo o seu domínio. (f) Para encontrar as assíntotas verticais, precisamos verificar se existem valores de x que tornam o denominador da função igual a zero. Resolvendo a equação x^2 + x - 1 = 0, encontramos x = (-1 + sqrt(5))/2 e x = (-1 - sqrt(5))/2. Portanto, a função possui duas assíntotas verticais nos valores x = (-1 + sqrt(5))/2 e x = (-1 - sqrt(5))/2. (g) O esboço do gráfico da função pode ser feito a partir das informações obtidas anteriormente. A função é contínua em todo o seu domínio e não possui assíntotas horizontais. Possui duas assíntotas verticais nos valores x = (-1 + sqrt(5))/2 e x = (-1 - sqrt(5))/2. O limite da função quando x tende a menos infinito e para x tendendo a mais infinito é zero. Portanto, o gráfico da função se aproxima das assíntotas verticais à medida que x se aproxima dos valores (-1 + sqrt(5))/2 e (-1 - sqrt(5))/2, e se aproxima do eixo x à medida que x se afasta desses valores. (h) A imagem da função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como a função é contínua em todo o seu domínio e se aproxima de zero à medida que x se aproxima de mais ou menos infinito, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais diferentes de zero.