3. (0,5 ponto cada item) Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital): (a) lim x→1 (x3 − 4x2 + 5x− 2)/(x3 − 2x2 + x); (b) lim ...

(a) Para resolver esse limite, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por x³. Assim, temos: lim x→1 (x³ − 4x² + 5x − 2)/(x³ − 2x² + x) = lim x→1 [(x³/x³) − (4x²/x³) + (5x/x³) − (2/x³)] / [(x³/x³) − (2x²/x³) + (x/x³)] = lim x→1 [1 − (4/x) + (5/x²) − (2/x³)] / [1 − (2/x) + (1/x³)] = [1 − (4/1) + (5/1²) − (2/1³)] / [1 − (2/1) + (1/1³)] = 0 (b) Para resolver esse limite, podemos usar a identidade trigonométrica sen(a) - sen(b) = 2cos[(a+b)/2]sen[(a-b)/2]. Assim, temos: lim x→π (senx − senπ)/(x − π) = lim x→π [2cos[(x+π)/2]sen[(x-π)/2]]/(x-π) = lim x→π [-2cos(x/2)sen(x-π)/2]/(x-π) = lim x→π [2cos(x/2)sen(π-x)/2]/(π-x) = lim x→π [2cos(x/2)sen(x)/2]/(π-x) = lim x→π [cos(x/2)sen(x)]/(π-x) = cos(π/2)sen(π)/(π-π) = 1 (c) Para resolver esse limite, podemos simplificar a expressão racionalizando o denominador. Assim, temos: lim x→4 √(1 + 2x − 3√(x − 2)) = lim x→4 √(1 + 2x − 3√(x − 2)) * [(1 + 2x + 3√(x - 2))/(1 + 2x + 3√(x - 2))] = lim x→4 [(1 + 2x + 3√(x - 2))√(1 + 2x − 3√(x − 2))] / [(1 + 2x) - 9(x - 2)] = lim x→4 [(1 + 2x + 3√(x - 2))√(1 + 2x − 3√(x − 2))] / (11 - 7x) = ∞ (d) Para resolver esse limite, podemos dividir todos os termos por x² e usar a propriedade de que lim x→∞ 1/x = 0. Assim, temos: lim x→+∞ √(x² + 6x + 4 − x) = lim x→+∞ √(x²/x² + 6x/x² + 4/x² − x/x²) = lim x→+∞ √(1 + 6/x + 4/x² − 1/x) = lim x→+∞ √(1 + 6/x + 4/x²) - lim x→+∞ 1/x = √1 - 0 = 1 (e) Para resolver esse limite, podemos usar a identidade trigonométrica lim x→0 sen(x)/x = 1. Assim, temos: lim x→0 sen(3x)/5x = 3/5 * lim x→0 sen(3x)/(3x) = 3/5 * 1 = 3/5 (f) Para resolver esse limite, podemos usar a propriedade de que lim x→a f(x)^g(x) = e^(lim x→a g(x)[f(x)-1]). Assim, temos: lim x→3 (1 + x/4)^(1/(x-3)) = e^(lim x→3 (1/(x-3))[(1 + x/4) - 1]) = e^(lim x→3 (1/(x-3))(x/4)) = e^(1/4 * lim x→3 1/(x-3) * x) = e^(1/4 * lim x→3 x/(x-3)) = e^(1/4 * lim x→3 (x-3+3)/(x-3)) = e^(1/4 * lim x→3 (1 + 3/(x-3))) = e^(1/4 * (1 + lim x→3 3/(x-3))) = e^(1/4 * (1 + ∞)) = e^∞ = ∞