2. (1 ponto cada item) Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital): (a) lim x→0 ln(x+ 3)− ln 3 x ; (b) lim x→27 x− 27 3 √...

(a) Para resolver este limite, podemos utilizar a propriedade de logaritmos que diz que ln(a) - ln(b) = ln(a/b). Aplicando essa propriedade, temos: lim x->0 [(ln(x+3) - ln(3))/x] = lim x->0 [ln((x+3)/3)/x] Agora, podemos utilizar a definição de limite para escrever: lim x->0 [ln((x+3)/3)/x] = lim x->0 [(1/x)ln((x+3)/3)] Podemos aplicar a regra do limite do produto para separar o limite em dois: lim x->0 [(1/x)ln((x+3)/3)] = lim x->0 (1/x) * lim x->0 ln((x+3)/3) O primeiro limite é infinito, enquanto o segundo é igual a ln(1) = 0. Portanto, o limite original é igual a zero. Resposta: 0 (b) Para resolver este limite, podemos utilizar a propriedade de racionalização para eliminar a raiz cúbica no denominador. Multiplicando o numerador e o denominador por (x+3√x+9), temos: lim x->27 [(x-27)/(3√(x-3))] = lim x->27 [(x-27)/(3√(x-3))] * [(x+3√x+9)/(x+3√x+9)] Simplificando, temos: lim x->27 [(x-27)/(3√(x-3))] * [(x+3√x+9)/(x+3√x+9)] = lim x->27 [(x^2 - 27^2)/(3(x-3)(x+3√x+9)))] Podemos fatorar o numerador como (x+27)(x-27) e simplificar com o denominador: lim x->27 [(x+27)(x-27)/(3(x-3)(x+3√x+9)))] = lim x->27 [(x+27)/(3(x+3√x+9)))] Agora, podemos substituir x por 27 e obtemos: lim x->27 [(x+27)/(3(x+3√x+9)))] = 54/54 = 1 Resposta: 1 (c) Para resolver este limite, podemos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x). Aplicando essa identidade, temos: lim x->pi/2 [(1-sen(x))/(2x-pi)] = lim x->pi/2 [(1-sen(x))/(2(x-pi/2)))] Podemos multiplicar o numerador e o denominador por (1+sen(x)) para simplificar: lim x->pi/2 [(1-sen(x))/(2(x-pi/2))) * (1+sen(x))/(1+sen(x))] = lim x->pi/2 [(1-sen^2(x))/(2(x-pi/2)(1+sen(x))))] Podemos utilizar a identidade trigonométrica cos^2(x) = 1-sen^2(x) para simplificar o numerador: lim x->pi/2 [(1-sen^2(x))/(2(x-pi/2)(1+sen(x))))] = lim x->pi/2 [(cos^2(x))/(2(x-pi/2)(1+sen(x))))] Agora, podemos substituir x por pi/2 e obtemos: lim x->pi/2 [(cos^2(x))/(2(x-pi/2)(1+sen(x))))] = 1/2 Resposta: 1/2 (d) Para resolver este limite, podemos utilizar a propriedade de limites infinitos que diz que se f(x) cresce mais rápido do que g(x) quando x tende ao infinito, então lim x->inf [f(x)/g(x)] = inf. Podemos verificar que a função 2x cresce mais rápido do que a função √(x^2+3) quando x tende ao infinito, pois: lim x->inf [2x/√(x^2+3)] = lim x->inf [2/√(1+3/x^2)] = 2 Portanto, podemos concluir que: lim x->-inf [2x-√(x^2+3)] = -inf Resposta: -inf