(Problemas de otimização - fonte: livro do Stewart) Use o que você apren-deu sobre derivadas e o comportamento das funções para resolver os pr...

(a) Para encontrar o nível de intensidade de luz que maximiza a taxa P, precisamos encontrar o valor de I que maximiza P. Para isso, precisamos encontrar o valor de I que torna a derivada de P em relação a I igual a zero. Começamos encontrando a primeira derivada de P em relação a I: P' = (100(I^2 + I + 4) - 100I(2I + 1)) / (I^2 + I + 4)^2 Simplificando, temos: P' = (100 - 200I^2) / (I^2 + I + 4)^2 Igualando a derivada a zero, temos: 100 - 200I^2 = 0 I^2 = 1/2 I = ±sqrt(2)/2 Como I deve ser positivo, temos: I = sqrt(2)/2 Portanto, o nível de intensidade de luz que maximiza a taxa P é de aproximadamente 0,707 milhares de velas. (b) Para encontrar o nível de nitrogênio que dá a melhor produção Y, precisamos encontrar o valor de N que maximiza Y. Para isso, precisamos encontrar o valor de N que torna a derivada de Y em relação a N igual a zero. Começamos encontrando a primeira derivada de Y em relação a N: Y' = k(1 - N^2) / (1 + N^2)^2 Igualando a derivada a zero, temos: 1 - N^2 = 0 N^2 = 1 N = ±1 Como N deve ser positivo, temos: N = 1 Portanto, o nível de nitrogênio que dá a melhor produção Y é de 1 unidade. (c) Para encontrar a velocidade do peixe que minimiza a energia E(v) gasta, precisamos encontrar o valor de v que torna a derivada de E(v) em relação a v igual a zero. Começamos encontrando a primeira derivada de E(v) em relação a v: E'(v) = aL(v^4 - uv^3) / (v - u)^2 Igualando a derivada a zero, temos: v^4 - uv^3 = 0 v^3(v - u) = 0 v = 0 ou v = u Como v não pode ser zero, temos: v = u Mas sabemos que os peixes migram a uma velocidade 50% maior do que a velocidade da corrente, então: v = 1,5u Portanto, a velocidade do peixe que minimiza a energia E(v) gasta é 1,5 vezes a velocidade da corrente.