7. (a) Calcule a integral de linha de H = 4sen(0,4pz)a y - (x + 2)2a z ao longo do percurso quadrado de centro em P(1, –3, 2), lado igual a 0,6 uni...

Para calcular a integral de linha de H ao longo do percurso quadrado, podemos seguir os seguintes passos: (a) Primeiro, precisamos parametrizar o percurso quadrado. Como o centro do quadrado está em P(1, -3, 2) e as arestas são paralelas aos eixos coordenados, podemos parametrizar o quadrado como: r(t) = (1 + 0,3cos(t), -3 + 0,3sen(t), 2), onde 0 ≤ t ≤ 2π. (b) Em seguida, podemos calcular a integral de linha usando a fórmula: ∫H·dr = ∫(Hx dx + Hy dy + Hz dz) Substituindo H pelos seus componentes e dr pelos diferenciais de cada coordenada, temos: ∫H·dr = ∫(16sen(0,4πz)dx - (x+2)²dz) Usando a parametrização r(t), podemos escrever dx = -0,3sen(t)dt e dz = 0dt. Substituindo na integral, temos: ∫H·dr = ∫[16sen(0,4π(2-0,3sen(t))) (-0,3sen(t)dt) - (1+2)²(0dt)] ∫H·dr = ∫[-15,36sen(t)²cos(0,4π(2-0,3sen(t)))dt - 9dt] Usando a identidade trigonométrica sen²(t) = (1-cos(2t))/2, podemos simplificar a integral para: ∫H·dr = ∫[7,68cos(0,4π(2-0,3sen(t))) - 9]dt Integrando, temos: ∫H·dr = [1,92sen(0,4π(2-0,3sen(t))) - 9t] de 0 a 2π Substituindo os limites de integração, temos: ∫H·dr = [1,92sen(0,4π(2-0,3sen(2π))) - 18π] - [1,92sen(0,4π(2-0,3sen(0))) - 0] ∫H·dr = 1,430 Portanto, a integral de linha de H ao longo do percurso quadrado é 1,430. (c) Para calcular x)H( no ponto P(1, –3, 2), podemos usar a fórmula: x)H( = (∂Hz/∂y - ∂Hy/∂z)i + (∂Hx/∂z - ∂Hz/∂x)j + (∂Hy/∂x - ∂Hx/∂y)k Substituindo H pelos seus componentes, temos: x)H( = (-16πcos(0,4πz))i + 0j + 8πsen(0,4πz)k Substituindo z = 2, temos: x)H( = -16πcos(0,8π)i + 0j + 8πsen(0,8π)k x)H( = -4,066i + 0j + 3,973k Portanto, x)H( no ponto P(1, –3, 2) é -4,066i + 0j + 3,973k.