07 - Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2 M = [a b; c d], considere as seguintes afirmativas a respeit...

A alternativa correta é: "Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras." Explicação: 1. A matriz M é invertível se, e somente se, o determinante de M for diferente de zero. Como a, b e c são diferentes de zero, temos que det(M) = ad - bc é diferente de zero, logo a afirmativa 1 é verdadeira. 2. Temos que det(M.MT) = det(M).det(MT) = (ad-bc)(ad-bc) = (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2. Como a, b e c são diferentes de zero, temos que (ad)^2 e (bc)^2 são positivos, e o termo -2abcd é negativo. Portanto, det(M.MT) > 0, e a afirmativa 2 é verdadeira. 3. Quando a = 1 e c = -1, temos que M = [1 b; -1 d]. Então, M² = [1 b; -1 d].[1 b; -1 d] = [1+b^2 -bd; -1-bd d^2]. Para M² ser igual à matriz identidade I, precisamos ter 1+b^2-bd = d^2-1 = 0 e -1-bd = 0. A segunda equação implica que b = -1/d, e substituindo na primeira equação, obtemos d^4 - d^2 - 1 = 0. Esta equação tem duas raízes reais, uma positiva e outra negativa, e ambas satisfazem as condições impostas. Portanto, a afirmativa 3 é verdadeira. Assim, as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras, e a alternativa correta é "Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras."