Considere a afirmação: “Em um grupo de n pessoas pode-se garantir que três delas aniversariam no mesmo mês”. O menor valor de n que torna verdadeir...

A resposta correta é a letra c) 25. Essa questão está relacionada ao chamado "problema do aniversário", que é um problema clássico de probabilidade. A ideia é que, em um grupo de pessoas, a probabilidade de duas pessoas terem o mesmo aniversário é maior do que se imagina. Para resolver essa questão, podemos usar o método da contagem complementar. Ou seja, vamos calcular a probabilidade de que não haja três pessoas com o mesmo aniversário e, em seguida, subtrair esse valor de 1 (que representa a certeza de que pelo menos três pessoas têm o mesmo aniversário). Seja P(n) a probabilidade de que não haja três pessoas com o mesmo aniversário em um grupo de n pessoas. Podemos calcular essa probabilidade da seguinte forma: P(n) = (12/12) x (11/12) x (10/12) x ... x [(13-n+1)/12] Ou seja, na primeira escolha, qualquer mês serve (12/12); na segunda escolha, não pode ser o mesmo mês do primeiro (11/12); na terceira escolha, não pode ser o mesmo mês do primeiro ou do segundo (10/12); e assim por diante, até a n-ésima escolha, que não pode ser o mesmo mês de nenhum dos anteriores (13-n+1)/12. Agora, podemos usar a desigualdade de Bernoulli para estimar P(n): P(n) <= (e^(-1/2n^2))^(n(n-1)/2) Essa desigualdade nos diz que, para qualquer número real x e qualquer número natural n, temos: (1 + x)^n >= 1 + nx Se aplicarmos essa desigualdade com x = -1/2n^2 e n = n(n-1)/2, obtemos: P(n) <= (e^(-1/2n^2))^(n(n-1)/2) P(n) <= e^(-1/2n) Agora, podemos usar essa desigualdade para encontrar o menor valor de n que torna P(n) menor do que 1/2 (ou seja, a probabilidade de que pelo menos três pessoas tenham o mesmo aniversário é maior do que 1/2): e^(-1/2n) < 1/2 -1/2n < ln(1/2) n > 2ln(2)/ln(1/2) n > 4 Portanto, o menor valor de n que torna verdadeira a afirmação é 25 (pois com 24 pessoas ainda é possível que todas tenham aniversários em meses diferentes).