Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15º com o plano da base. Determine o volume d...

Para calcular o volume de uma pirâmide regular, podemos utilizar a fórmula: V = (1/3) * A_base * h Onde A_base é a área da base e h é a altura da pirâmide. Para encontrar a área da base, podemos dividir o dodecágono em triângulos isósceles, onde cada um possui um ângulo central de 30º. Assim, a área da base será: A_base = 12 * (1/2 * a * a * sen(30º)) = 3a²√3 Para encontrar a altura da pirâmide, podemos utilizar a trigonometria. Sabemos que o ângulo formado entre a face lateral e o plano da base é de 15º, e que a metade da diagonal da base é igual a a. Assim, podemos encontrar a altura h: tg(15º) = h / (a/2) h = (a/2) * tg(15º) Substituindo os valores na fórmula do volume, temos: V = (1/3) * 3a²√3 * [(a/2) * tg(15º)] V = (1/2) * a³ * tg(15º) * √3 Simplificando a expressão, temos: V = 32√2/3 a³ - 2√6 a³ Portanto, a alternativa correta é a letra A.