Um recipiente com água tem, internamente, o formato de um cilindro reto com base de raio R cm. Mergulhando nesse recipiente uma esfera de metal de ...

Podemos resolver esse problema utilizando a fórmula do volume do cilindro e da esfera. O volume do cilindro é dado por Vc = πR²h, onde R é o raio da base do cilindro e h é a altura do cilindro. O volume da esfera é dado por Ve = 4/3πr³, onde r é o raio da esfera. Quando a esfera é mergulhada no cilindro, o volume de água deslocado é igual ao volume da esfera. Portanto, temos: Ve = Vc 4/3πr³ = πR²h h = 4r³/3πR² Sabemos que o nível da água sobe 16R/9 cm, ou seja, a altura do cilindro aumenta em 16R/9 cm. Portanto, a nova altura do cilindro é: H = h + 16R/9 H = 4r³/3πR² + 16R/9 H = 4r³/3πR² + 16R²/9πR² H = (4r³ + 16R³)/9πR² Agora, podemos utilizar a fórmula do volume do cilindro novamente para encontrar a nova altura do nível da água. Vc = πR²H πR²(4r³ + 16R³)/9πR² = πR²H 4r³ + 16R³ = 9H Substituindo H pela altura que encontramos anteriormente, temos: 4r³ + 16R³ = 4r³ + 64R³/9πR² Multiplicando ambos os lados por 9πR², temos: 36πR²r³ + 144πR⁴ = 64πR⁴ 36πR²r³ = 80πR⁴ r³ = 80/36R² r = (80/36)^(1/3)R r = (20/9)^(1/3)R Portanto, a alternativa correta é a letra c) cm5R3 r =.