Um recipiente cilíndrico com base de raio r continha água e nele foi colocada uma esfera metálica. A altura da água aumentou 10% em relação à altur...

Vamos lá! Seja Vc o volume do cilindro e Ve o volume da esfera. Sabemos que a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro é 1/3, ou seja: Ve/Vc = 1/3 Também sabemos que a altura da água aumentou 10% em relação à altura inicial h, ou seja: h' = h + 0,1h = 1,1h Agora, vamos encontrar uma relação entre os raios do cilindro e da esfera. Seja H a altura do cilindro com a esfera dentro. Podemos escrever: Vc + Ve = πr²h' Substituindo Ve por 1/3Vc e h' por 1,1h, temos: Vc + 1/3Vc = πr²(1,1h) 4/3Vc = πr²(1,1h) Vc = 3/4πr²h Agora, vamos encontrar uma relação entre os raios do cilindro e da esfera. Observe que a esfera está inscrita no cilindro, ou seja, o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro. Assim, podemos escrever: 2R = H 2R = h + 0,1h 2R = 1,1h R = 0,55h R = k.r, onde k é uma constante numérica. Assim, temos: 0,55h = k.r r = 0,55h/k Agora, podemos substituir r na equação acima: Vc = 3/4πr²h Vc = 3/4π(0,55h/k)²h Vc = 0,2025πh³/k² Substituindo na equação Ve/Vc = 1/3: Ve/Vc = 1/3 Ve/(0,2025πh³/k²) = 1/3 Ve = 0,0675πh³/k² O volume da esfera é dado por: Ve = 4/3πR³ Substituindo R = 0,55h, temos: Ve = 4/3π(0,55h)³ Ve = 0,1815πh³ Igualando as expressões para Ve, temos: 0,0675πh³/k² = 0,1815πh³ k² = 0,0675/0,1815 k² = 0,3719 k = √0,3719 k = 0,6095 Portanto, o raio R da esfera é igual a uma constante numérica multiplicada por rh, ou seja: R = 0,6095rh Logo, a alternativa correta é a letra A) (h.r).