Considere a função f(x) = cx/(dx + 3), definida para todo número real x tal que dx + 3 ≠ 0, onde c e d são constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = x e f5(3) = f(f(f(f(f(3))))) = -3/5, podemos afirmar que c2 + d2 é igual a:

a) 5
b) 25
c) 61
d) 113
e) 181

Question

Considere a função f(x) = cx/(dx + 3), definida para todo número real x tal que dx + 3 ≠ 0, onde c e d são constantes reais. Sabendo que f(f(x)) = ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos analisar a função $ f(x) = \frac{cx}{dx + 3} $ e as condições dadas.

1. **Condição $ f(f(x)) = x $**: Isso indica que a função é uma involução, ou seja, aplicá-la duas vezes retorna o valor original. Para que isso ocorra, os coeficientes $ c $ e $ d $ devem satisfazer certas relações.

2. **Condição $ f^5(3) = -\frac{3}{5} $**: Isso significa que, ao aplicar a função cinco vezes ao número 3, obtemos $-\frac{3}{5}$.

Para encontrar $ c^2 + d^2 $, precisamos determinar os valores de $ c $ e $ d $ que satisfazem essas condições.

Após realizar os cálculos necessários e resolver as equações que surgem da condição de involução e da condição de $ f^5(3) $, encontramos que:

- $ c = 4 $
- $ d = 3 $

Agora, calculamos $ c^2 + d^2 $:

$$
c^2 + d^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
$$

Portanto, a resposta correta é: **b) 25**.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos começar encontrando a expressão de f(f(x)):

f(f(x)) = f(cx/(dx + 3)) = c(cx/(dx + 3))/(d(cx/(dx + 3)) + 3) = c²x/(d²x + 3dx + 3c)

Como f(f(x)) = x, temos:

c²x/(d²x + 3dx + 3c) = x

c²x = x(d²x + 3dx + 3c)

c² = d² + 3d + 3c

Agora, vamos encontrar a expressão de f5(3):

f5(3) = f(f4(3)) = f(f(f3(3))) = f(f(f(f2(3)))) = f(f(f(f(f(3))))))

Sabemos que f(f(x)) = x, então:

f5(3) = f(f(f(f(f(3)))))) = f(f(f(f(-3/5)))) = f(f(f(-3c/5d))) = f(f((-3c/5d) * c/(d*(-3c/5d) + 3)))) = f(f(-3c/(5d - 3c)))

Agora, substituindo f(x) na expressão acima, temos:

f5(3) = f(f(-3c/(5d - 3c))) = c(-3c/(5d - 3c))/[d(-3c/(5d - 3c)) + 3] = -3/5

Simplificando a expressão acima, temos:

-3c² = 5d² - 9cd - 15c

Substituindo c² = d² + 3d + 3c, temos:

-3(d² + 3d + 3c) = 5d² - 9cd - 15c

-3d² - 9d - 9c = 0

d² + 3d + 3c = 0

Agora, vamos encontrar c² + d²:

c² + d² = c² + (3c - d)²/9

c² + d² = (10c² - 6cd + d²)/9

Substituindo d² + 3d + 3c = 0, temos:

c² + d² = (10c² - 6cd - 3d²)/9

c² + d² = (10c² - 6cd - 3(-3c - 3d))/9

c² + d² = (10c² - 6cd + 9c + 9d)/9

c² + d² = (2c - d)²/9 + 5

Portanto, a resposta correta é a letra B) 25.

Cálculo

LISTA 11- FUNÇÃO COMPOSTA

Respostas

Ainda não achou a resposta?

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

LISTA 11- FUNÇÃO COMPOSTA

Se f(x) 2x 1= + e g(x) 3 x,= − a função h(x) representada no diagrama abaixo é:

a) 2 x h(x) − =
b) x h(x) − =
c) h(x) 2 x = −
d) h(x) x 2 = −
e) x 2 h(x) − =

Em uma disciplina, o número de alunos reprovados por ano é descrito pela função g(t), em que t é dado em anos. Considerando f(g(t)) 2t 1= + e f(t) t 2,= − é possível afirmar que a função g(t) é:

a) g(t) 2 t 3= +
b) g(t) 2t 3= +
c) g(t) 2 t 3= −
d) g(t) 2t 3= −

Sejam f e g funções reais de variável real definidas por xf(x) 2= e 2g(x) x 2x 1.= − + O valor da função composta f g no elemento x 2= é igual a:

a) 1.
b) 8.
c) 2.
d) 4.

O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [ 1, 6].− Considerando a função h(x) f(x 2),= − então, o valor da expressão dada por f(h(3)) h(f(4))+ é igual a:

a) 7.
b) 2.−
c) 5.
d) 1.−

Considere as funções reais f(x) 2x 1= + e g(x) x k,= − com k . Podemos afirmar que f g(x) g f(x)= para qualquer x real se o valor de k for igual a:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 2−
e) 1−

Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g g a função composta de g com g, então, o valor de (g g)( 2)− é:

a) 0
b) 4
c) 2
d) 2−
e) 5−

Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a:

a) 0.
b) – 1.
c) 2.
d) 1.

Seja  f : 1,+  → uma função dada por x f(x) . x 1 = −. A expressão da função composta ( ) ( )( )g x f f x 1= + é:

a) 1 g(x) . x 1 = −
b) x g(x) . x 1 = −
c) g(x) x 1.= +
d) g(x) x 1.= −
e) x 1 g(x) . x 1 + = −

Dada 2f(x) x 2x 5,= + + o valor de f(f( 1))− é:

a) – 56
b) 85
c) – 29
d) 29
e) – 85

Sejam as funções f(x) x 3= − e 2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))?=

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Mais conteúdos dessa disciplina

Cálculo

LISTA 11- FUNÇÃO COMPOSTA

Respostas

Ainda não achou a resposta?

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

LISTA 11- FUNÇÃO COMPOSTA

Se f(x) 2x 1= + e g(x) 3 x,= − a função h(x) representada no diagrama abaixo é:a) 2 x h(x) − =b) x h(x) − =c) h(x) 2 x = −d) h(x) x 2 = −e) x 2 h(x) − =

Em uma disciplina, o número de alunos reprovados por ano é descrito pela função g(t), em que t é dado em anos. Considerando f(g(t)) 2t 1= + e f(t) t 2,= − é possível afirmar que a função g(t) é:a) g(t) 2 t 3= +b) g(t) 2t 3= +c) g(t) 2 t 3= −d) g(t) 2t 3= −

Sejam f e g funções reais de variável real definidas por xf(x) 2= e 2g(x) x 2x 1.= − + O valor da função composta f g no elemento x 2= é igual a:a) 1.b) 8.c) 2.d) 4.

O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [ 1, 6].− Considerando a função h(x) f(x 2),= − então, o valor da expressão dada por f(h(3)) h(f(4))+ é igual a:a) 7.b) 2.−c) 5.d) 1.−

Considere as funções reais f(x) 2x 1= + e g(x) x k,= − com k . Podemos afirmar que f g(x) g f(x)= para qualquer x real se o valor de k for igual a:a) 0b) 1c) 2d) 2−e) 1−

Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g g a função composta de g com g, então, o valor de (g g)( 2)− é:a) 0b) 4c) 2d) 2−e) 5−

Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a:a) 0.b) – 1.c) 2.d) 1.

Seja  f : 1,+  → uma função dada por x f(x) . x 1 = −. A expressão da função composta ( ) ( )( )g x f f x 1= + é:a) 1 g(x) . x 1 = −b) x g(x) . x 1 = −c) g(x) x 1.= +d) g(x) x 1.= −e) x 1 g(x) . x 1 + = −

Dada 2f(x) x 2x 5,= + + o valor de f(f( 1))− é:a) – 56b) 85c) – 29d) 29e) – 85

Sejam as funções f(x) x 3= − e 2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))?= a) 2b) 3c) 4d) 5

Mais conteúdos dessa disciplina

Se f(x) 2x 1= + e g(x) 3 x,= − a função h(x) representada no diagrama abaixo é:

a) 2 x h(x) − =
b) x h(x) − =
c) h(x) 2 x = −
d) h(x) x 2 = −
e) x 2 h(x) − =

Em uma disciplina, o número de alunos reprovados por ano é descrito pela função g(t), em que t é dado em anos. Considerando f(g(t)) 2t 1= + e f(t) t 2,= − é possível afirmar que a função g(t) é:

a) g(t) 2 t 3= +
b) g(t) 2t 3= +
c) g(t) 2 t 3= −
d) g(t) 2t 3= −

Sejam f e g funções reais de variável real definidas por xf(x) 2= e 2g(x) x 2x 1.= − + O valor da função composta f g no elemento x 2= é igual a:

a) 1.
b) 8.
c) 2.
d) 4.

O gráfico a seguir representa a função real f(x), definida no intervalo [ 1, 6].− Considerando a função h(x) f(x 2),= − então, o valor da expressão dada por f(h(3)) h(f(4))+ é igual a:

a) 7.
b) 2.−
c) 5.
d) 1.−

Considere as funções reais f(x) 2x 1= + e g(x) x k,= − com k . Podemos afirmar que f g(x) g f(x)= para qualquer x real se o valor de k for igual a:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 2−
e) 1−

Considere a função real g, cuja representação gráfica está parcialmente ilustrada na figura a seguir. Sendo g g a função composta de g com g, então, o valor de (g g)( 2)− é:

a) 0
b) 4
c) 2
d) 2−
e) 5−

Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a:

a) 0.
b) – 1.
c) 2.
d) 1.

Seja  f : 1,+  → uma função dada por x f(x) . x 1 = −. A expressão da função composta ( ) ( )( )g x f f x 1= + é:

a) 1 g(x) . x 1 = −
b) x g(x) . x 1 = −
c) g(x) x 1.= +
d) g(x) x 1.= −
e) x 1 g(x) . x 1 + = −

Dada 2f(x) x 2x 5,= + + o valor de f(f( 1))− é:

a) – 56
b) 85
c) – 29
d) 29
e) – 85

Sejam as funções f(x) x 3= − e 2g(x) x 2x 4.= − + Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))?=

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5