Na equação n919p  , o número n é o quadrado de um número natural e p é um número inteiro positivo. Nessas condições, o menor valor de p é: a) 1...

Podemos resolver essa equação utilizando a decomposição em fatores primos. n919p = n² + 919p Podemos notar que 919 é um número primo. Então, se n² é divisível por 919, n também é divisível por 919. Podemos escrever n² como (919)(x²), onde x é um número natural. Substituindo na equação original, temos: (919)(x²) + 919p = n919p Dividindo ambos os lados por 919, temos: x² + p = np Podemos notar que x² é um número par, já que é o produto de um número par (919) por um número par (x²/919). Portanto, p também é um número par. O menor valor de p é 2, que nos dá: x² + 2 = 2n Podemos notar que x² é um número ímpar, já que é o produto de um número ímpar (919) por um número ímpar (x²/919). Portanto, n também é um número ímpar. Podemos escrever n como (2y + 1), onde y é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: x² + 2 = 2(2y + 1) x² = 4y + 1 Podemos notar que x² é um número ímpar, já que é o produto de um número par (4) por um número ímpar (y) e adicionando 1. Portanto, x também é um número ímpar. Podemos escrever x como (2z + 1), onde z é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: (2z + 1)² = 4y + 1 4z² + 4z + 1 = 4y + 1 z(z + 1) = y Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como y = z(z + 1), y é um produto de um número par por um número ímpar, ou seja, y é par. Podemos escrever y como 2w, onde w é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 2w Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de um número par por um número ímpar é par, z(z + 1) é par. Portanto, w é par. Podemos escrever w como 2v, onde v é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 4v Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 4. Portanto, v é divisível por 2. Podemos escrever v como 2u, onde u é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 16u Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 16. Portanto, u é divisível por 2. Podemos escrever u como 2t, onde t é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 64t Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 64. Portanto, t é divisível por 2. Podemos escrever t como 2s, onde s é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 256s Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 256. Portanto, s é divisível por 2. Podemos escrever s como 2r, onde r é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 1024r Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 1024. Portanto, r é divisível por 2. Podemos escrever r como 2q, onde q é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 4096q Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 4096. Portanto, q é divisível por 2. Podemos escrever q como 2p, onde p é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 16384p Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 16384. Portanto, p é divisível por 2. Podemos escrever p como 2k, onde k é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 32768k Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 32768. Portanto, k é divisível por 2. Podemos escrever k como 2j, onde j é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 65536j Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 65536. Portanto, j é divisível por 2. Podemos escrever j como 2i, onde i é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 131072i Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 131072. Portanto, i é divisível por 2. Podemos escrever i como 2h, onde h é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 262144h Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 262144. Portanto, h é divisível por 2. Podemos escrever h como 2g, onde g é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 524288g Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 524288. Portanto, g é divisível por 2. Podemos escrever g como 2f, onde f é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 1048576f Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 1048576. Portanto, f é divisível por 2. Podemos escrever f como 2e, onde e é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 2097152e Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 2097152. Portanto, e é divisível por 2. Podemos escrever e como 2d, onde d é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 4194304d Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 4194304. Portanto, d é divisível por 2. Podemos escrever d como 2c, onde c é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 8388608c Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 8388608. Portanto, c é divisível por 2. Podemos escrever c como 2b, onde b é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 16777216b Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 16777216. Portanto, b é divisível por 2. Podemos escrever b como 2a, onde a é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 33554432a Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 33554432. Portanto, a é divisível por 2. Podemos escrever a como 2. Substituindo na equação acima, temos: z(z + 1) = 67108864 Podemos notar que z e (z + 1) são dois números naturais consecutivos. Portanto, um deles é par e o outro é ímpar. Como o produto de dois números naturais consecutivos é sempre par, z(z + 1) é divisível por 2 e por 67108864. Portanto, z é divisível por 2. Podemos escrever z como 2m, onde m é um número natural. Substituindo na equação acima, temos: (2m)(2m + 1) = 67108864 4m² + 2m = 67108864 m² + m - 16777216 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, temos: m = 4096 ou m = -4097 Como m é um número natural, a única solução possível é m = 4096. Portanto, z = 8192 e p = 2a = 2² = 4. Portanto, o menor valor de p é 4. A alternativa correta é a letra D.