A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando as congruência módulo m, analise as sentenças a seguir:

I. 21 ≡ 15 (mod 6).
II. 715 ≡ 411 (mod 10).
III. -3 ≡ -8 (mod 5).
IV. 24 ≡ 3 (mod 7).

Assinale a alternativa que apresenta, apenas congruências CORRETAS:

A )

As sentenças I e II estão corretas.

B )

As sentenças II e III estão corretas.

C )

As sentenças II e IV estão corretas.

D )

As sentenças I, III e IV estão corretas.

A )

As sentenças I e II estão corretas.
B )

As sentenças II e III estão corretas.
C )

As sentenças II e IV estão corretas.
D )

As sentenças I, III e IV estão corretas.

Question

A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os r...

Ed · Answer

Vamos analisar cada uma das sentenças:

I. $ 21 \equiv 15 \, (\text{mod} \, 6) $
- Calculando os restos: $ 21 \div 6 = 3 $ resto $ 3 $ e $ 15 \div 6 = 2 $ resto $ 3 $. Portanto, $ 21 \equiv 15 \, (\text{mod} \, 6) $ é **verdadeiro**.

II. $ 715 \equiv 411 \, (\text{mod} \, 10) $
- Calculando os restos: $ 715 \div 10 = 71 $ resto $ 5 $ e $ 411 \div 10 = 41 $ resto $ 1 $. Portanto, $ 715 \equiv 411 \, (\text{mod} \, 10) $ é **falso**.

III. $ -3 \equiv -8 \, (\text{mod} \, 5) $
- Calculando os restos: $ -3 \div 5 = -1 $ resto $ 2 $ e $ -8 \div 5 = -2 $ resto $ 2 $. Portanto, $ -3 \equiv -8 \, (\text{mod} \, 5) $ é **verdadeiro**.

IV. $ 24 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7) $
- Calculando os restos: $ 24 \div 7 = 3 $ resto $ 3 $ e $ 3 \div 7 = 0 $ resto $ 3 $. Portanto, $ 24 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7) $ é **verdadeiro**.

Agora, vamos resumir os resultados:
- I: Verdadeiro
- II: Falso
- III: Verdadeiro
- IV: Verdadeiro

As sentenças corretas são I, III e IV. Portanto, a alternativa correta é: **D) As sentenças I, III e IV estão corretas.**

Ed · Answer

A alternativa correta é a letra D) As sentenças I, III e IV estão corretas.

Explicação:

I. 21 ≡ 15 (mod 6) é verdadeiro, pois o resto da divisão de 21 por 6 é 3 e o resto da divisão de 15 por 6 também é 3.

II. 715 ≡ 411 (mod 10) é falso, pois o resto da divisão de 715 por 10 é 5 e o resto da divisão de 411 por 10 é 1.

III. -3 ≡ -8 (mod 5) é verdadeiro, pois o resto da divisão de -3 por 5 é 2 e o resto da divisão de -8 por 5 também é 2.

IV. 24 ≡ 3 (mod 7) é verdadeiro, pois o resto da divisão de 24 por 7 é 3 e o resto da divisão de 3 por 7 também é 3.

Matemática

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