Determine a solução completa das equações não-homogêneas: a)y′′ + 2y′ + y = cos 2x + 2x + 4ex; b)y′′ + 2y′ + 5y = 40e3x; c)y′′ − 8y′ − 9y = 4...

a) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 2y' + y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2x)e^(-x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém termos exponenciais e trigonométricos, podemos tentar uma solução particular na forma yp = A cos(2x) + Bx + Ce^(4x), onde A, B e C são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -4A cos(2x) + (8B + 16C) e^(4x) + (2B - 2A) cos(2x) + (2C + 4B) x + 2A + 4B = cos(2x) + 2x + 4e^(x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -4A + 2B - 2A = 1 8B + 16C + 2C + 4B = 4 2B + 2C + 2A + 4B = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos A = -1/5, B = 3/10 e C = 1/20. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = (c1 + c2x)e^(-x) - (1/5)cos(2x) + (3/10)x + (1/20)e^(4x). b) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 2y' + 5y = 0. A solução dessa equação é yh = e^(-x)(c1 cos(2x) + c2 sin(2x)), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém um termo exponencial, podemos tentar uma solução particular na forma yp = Ae^(3x), onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: 9Ae^(3x) + 6Ae^(3x) + 5Ae^(3x) = 40e^(3x) Portanto, A = 8/5. Assim, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = e^(-x)(c1 cos(2x) + c2 sin(2x)) + (8/5)e^(3x). c) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' - 8y' - 9y = 0. A solução dessa equação é yh = c1e^(9x) + c2e^(-x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém um termo senoidal, podemos tentar uma solução particular na forma yp = A sin(5x) + B cos(5x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -25A sin(5x) - 25B cos(5x) - 40A sin(5x) - 40B cos(5x) = 40 sin(5x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -25A - 40B = 0 -25B + 40A = 40 Resolvendo esse sistema, encontramos A = 8/17 e B = -5/17. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = c1e^(9x) + c2e^(-x) + (8/17)sin(5x) - (5/17)cos(5x). d) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' - 4y' + 4y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2x)e^(2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém termos polinomiais e senoidais, podemos tentar uma solução particular na forma yp = (Ax^2 + Bx + C)e^(2x)sin(2x), onde A, B e C são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -16Ae^(2x)sin(2x) + 16Be^(2x)sin(2x) + 16Ce^(2x)sin(2x) + 8Ae^(2x)cos(2x) - 8Be^(2x)cos(2x) + 4Ax^2e^(2x)sin(2x) + 4Bxe^(2x)sin(2x) + 4Ce^(2x)sin(2x) + 4Ax^2e^(2x)cos(2x) + 4Bxe^(2x)cos(2x) + 2Ae^(2x)sin(2x) + 2Be^(2x)cos(2x) = 7x^2e^(2x)sin(2x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -16A + 16C + 2A = 0 16B - 8A + 4B = 0 16C - 8B + 2B = 7 4A + 4C = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos A = -1/4, B = 1/8 e C = 1/4. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = (c1 + c2x)e^(2x) - (1/4)x^2e^(2x)sin(2x) + (1/8)xe^(2x)sin(2x) + (1/4)e^(2x)cos(2x) - (1/4)e^(2x)sin(2x). e) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 5y' + 6y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2e^(-3x))e^(-2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém termos exponenciais e polinomiais, podemos tentar uma solução particular na forma yp = Ae^(-2x) + Bx + C, onde A, B e C são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -5Ae^(-2x) - 5Be^(-2x) - 5C + 2Ae^(-2x) + 2Be^(-2x) + 2C + 2B + Ae^(-2x) + 2Be^(-2x) + 6C = e^(-2x) - 2x Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -2A + 2B + A = 0 -5A + 2A + B + 2B = 0 -5C + 2C + 6C = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos A = -1/2, B = 1/2 e C = 1/30. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = (c1 + c2e^(-3x))e^(-2x) - (1/2)e^(-2x) + (1/2)x + (1/30). f) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 5y' + 6y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2e^(-3x))e^(-2x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação é uma constante, podemos tentar uma solução particular na forma yp = A, onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: 0A = 10 Isso é uma contradição, o que significa que não há solução particular para essa equação não homogênea. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh = (c1 + c2e^(-3x))e^(-2x). g) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y''' - y'' + 4y' - 4y = 0. A solução dessa equação é yh = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-x), onde c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém um termo exponencial e um termo senoidal, podemos tentar uma solução particular na forma yp = Aex sin(2x) + Bex cos(2x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -4Aex sin(2x) - 4Bex cos(2x) + 4Aex sin(2x) - 4Bex cos(2x) + 8Aex cos(2x) + 8Bex sin(2x) + 68ex sin(2x) = 68ex sin(2x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -4A + 4A + 8B = 0 -4B - 4B + 8A = 0 68A = 68 Resolvendo esse sistema, encontramos A = 1 e B = 0. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = c1 + c2e^(2x) + c3e^(-x) + ex sin(2x). h) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 5y' + 4y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2e^(-4x))e^(-x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém um termo produto de senos e cossenos, podemos tentar uma solução particular na forma yp = A sin(x) cos(x), onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -5A sin(x) cos(x) - 4A sin(x) cos(x) + 2A sin(x) cos(x) = 15 sin(x) cos(x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -7A = 15 Resolvendo esse sistema, encontramos A = -15/7. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = (c1 + c2e^(-4x))e^(-x) - (15/7)sin(x)cos(x). i) Para resolver essa equação não homogênea, primeiro precisamos encontrar a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 2y' + y = 0. A solução dessa equação é yh = (c1 + c2x)e^(-x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias. Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea. Como o lado direito da equação contém um termo senoidal, podemos tentar uma solução particular na forma yp = A sin(2x) + B cos(2x), onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo yp na equação não homogênea, obtemos: -4A sin(2x) - 4B cos(2x) + 4A sin(2x) + 4B cos(2x) + 2A sin(2x) - 2B cos(2x) + Asin(2x) + Bcos(2x) = sin(2x) Igualando os coeficientes de cada termo, obtemos o seguinte sistema de equações: -2A - 2B + A = 0 -2B + 2A + B = 1 Resolvendo esse sistema, encontramos A = 1/2 e B = -1/2. Portanto, a solução geral da equação não homogênea é y = yh + yp = (c1 + c2x)e^(-x) + (1/2)sin(2x) - (1/2)cos(2x).